Đề thi chọn HSG

TRƯỜNG THCS HỒ TÙNG MẬU
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 7
(Thời gian làm bài: 120 phút)


Bài 1. (4,0 điểm).
a) Tính: A =
b) So sánh:
và

Bài 2. (3,0 điểm).
a) Tìm
biết:
b) Tìm số tự nhiên n biết:
Bài 3. (4,5 điểm).
a) Cho dãy tỉ số bằng nhau:

Tính giá trị biểu thức Q, biết Q =


b) Cho biểu thức
với x, y, z, t là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh
.
Bài 4. (6,5 điểm).
1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng:
a)
và BH = AI. b) Tam giác MHI vuông cân.
2) Cho tam giác ABC có góc  = 900. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh BC ở E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE.
Bài 5. (2,0 điểm).
Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và
,
. Chứng minh rằng đa thức có giá trị không lớn hơn 2.
-----Hết-----
Họ và tên thí sinh: …………………………….. Số báo danh: ..............
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài.
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Nội dung
Điểm

Bài 1.
4,0 đ

a) 2,0 đ
+ Biến đổi:

=

= 1

1,0

0,50
0,50

b) 2,0 đ
+ Biến đổi:

+ Có
vì (1 < 2 ; 80 < 100)
Vậy

0,5

1,0

0,5

Bài 2.
3,0 đ

a) 2,0 đ
+ Ta có
=>

=>
hoặc

=>
hoặc

Vậy
hoặc
.
0,5
0,5
0,5
0,5

b) 1,0 đ
+ Biến đổi được

=>

=> n = 6
KL: Vậy n = 6
0,25
0,25
0,25
0,25

Bài 3.
4,5 đ

a)
(2,5 đ)
+ Biến đổi:





+ Nếu a + b + c + d
0 thì a = b = c = d => Q = 1 + 1 +1 +1 = 4
+ Nếu a + b + c + d = 0
thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - (a + b); d + a = - (b + c)
=> Q = (-1) + (-1) + (-1) +(-1) = - 4
+ KL : Vậy Q = 4 khi a + b + c + d
0
Q = - 4 khi a + b + c + d = 0


0,5


0,25

0,25

1,0
0,25

0,25

b)
(2,0 đ)
+ Ta có:








M <
=> M < 2
+ Có M10 < 210 (Vì M > 0) mà 210 = 1024 < 1025
Vậy M10 < 1025




0,1




0,25

0,5
0,25

Bài 4.























0,25

1.a/
2,75 đ
* Chứng minh:

+ Chứng minh được: (ABM = (ACM (c-c-c)
+ Lập luận được:

+ Tính ra được

=>


* Chứng minh: BH = AI.
+ Chỉ ra:
(cùng phụ
)
+ Chứng minh được (AIC = (BHA (Cạnh huyền – góc nhọn)
=> BH = AI (2 cạnh tương ứng)

0,5
0,