Đề thi chọn HSG

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI: TOÁN 7
Ngày thi: 25/04/2015
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)


Bài 1: (4,5 điểm)
a) Trong ba số a, b, c có một số dương, một số âm và một số bằng 0, ngoài ra còn biết:
. Hỏi số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0 ?
b) Tìm hai số x và y sao cho x + y = xy = x : y (y
0).
c) Cho p là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên a thỏa mãn:
.

Bài 2: (4,5 điểm)
a) Cho đa thức
, biết
. Hãy tính
.
b) Tìm x, biết:

c) Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức:

Bài 3: (4.0 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
b) Tìm hai số khác 0 biết tổng, hiệu, tích của hai số đó tỉ lệ với


Bài 4: (4.0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 6cm, AC = 8cm và đường cao AH. Tia phân giác của góc BAH cắt BH tại D. Trên tia CA lấy điểm K sao cho CK = BC.
a) Chứng minh KB // AD.
b) Chứng minh KD
BC.
c) Tính độ dài KB.

Bài 5: (3.0 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A tù. Kẽ AD
AB và AD = AB (tia AD nằm giữa hai tia AB và AC). Kẽ AE
AC và AE = AC (tia AE nằm giữa hai tia AB và AC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AM
DE.



Họ và tên thí sinh: …………………………………………………………………Số báo danh: ………..…… Phòng thi số: ……………





KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN. NĂM HỌC 2014 - 2015.
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7

Bài
Đáp án
Điểm

1
4,5 điểm
a) Số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0
1,5đ


Ta có
, nên từ

0,5đ


+) Nếu
có hai số a và b bằng 0, vô lý
+) Nếu
có hai số âm b và c, vô lý
5,5đ


+) Nếu b> 0, ta xét
có hai số dương b và c, vô lý
a < 0
Vậy a < 0, b > 0 và c = 0
0,5đ


b) Tìm hai số x và y sao cho x + y = xy = x : y (y
0)
1,5đ


 Từ x + y = xy
x = xy – y = y(x – 1)
x : y = x – 1
0,5đ


 Ta lại có x : y = x + y
x + y = x – 1
y = – 1
0,5đ



x = xy – y = – x + 1

. Vậy hai số cần tìm là
, y = – 1
0,5đ


c) Cho p là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên a thỏa mãn:
.
1,5đ


Từ

0,5đ


 Với
; p là số nguyên tố
p = 2
0,5đ



a(a + 1) = 2 = 1.2 = (– 1).(– 2)
a = 1; hoặc a = – 2
(thiếu 1 trong 2 giá trị trừ 0,5 điểm – tức là: không ghi điểm ý này)
0,5đ

2
4 điểm
a) Cho đa thức
, biết
. Hãy tính
.
1,5đ


 Ta có:



0,5đ





0,5đ



. Vậy:

0,5đ


b) Tìm x, biết:

1,5đ




hoặc
, hoặc

0,5đ



(Thiếu x + 1
0, trừ 0,25đ)
0,5đ



. Vậy: x = 4, x = 5, x = 6
(Thiếu một giá trị x – 5 = –1 , trừ 0,25đ)