De thi chon hsg

PHÒNG GD-ĐT NGHĨA ĐÀN
ĐỀ THI
CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG TỈNH
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN : TOÁN ( Thời gian 150 phút )


Câu 1: ( 4 đểm)
Cho P(x) = a .x3 + b.x2 + c.x + d , với a
Z* .
Biết P(2009) = 2010 ; P(2010) = 2011. Chứng minh rằng : P(2011) – P(2008) là hợp số.
Tìm số tự nhiên a biết rằng trong ba mệnh đề P,Q,R dưới đây có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai :
1. P : “ a +21 là số chính phương ”
2. Q : “ Chữ số tận cùng của a là 1”
3. R : “ a – 58 là số chính phương ”
Câu 2: ( 4 điểm)
a) Giải phương trình :

b) Giải hệ phương trình sau:

Câu 3 : ( 3 điểm) Cho x , y > 0 và x + y
6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


Câu 4: ( 4 điểm)
Cho tam giác ABC (AC>AB) . Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác đó tiếp xúc với AB, BC ở D, E. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AC, BC. Gọi K là giao điểm của MN và AI . Chứng minh rằng:
Bốn điểm I, E, K, C cùng thuộc một đường tròn
Ba điểm D, E, K thẳng hàng
Câu 5 : ( 5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R=2cm, có góc BAC = 600 , đường cao AH = 3cm.
Tính diện tích tam giác ABC.
Gọi P là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC và M, N lần lượt là điểm đối xứng của P qua các đường thẳng AB và AC. Xác định vị trí của điểm P sao cho độ dài MN đạt giá trị lớn nhất. Tính độ dài lớn nhất đó.
...........................................Hết..........................................


PHÒNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN


KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 – 2011


HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

 Câu
 Ý
câu
  ĐÁP ÁN
 Biểu điểm

  1
(4đ)





 
 
 
 
 
 
 
 
 

a
(2đ)




 
 
 
 
 Ta có : P(2009) = 20093.a + 20092.b + 2009.c + d = 2010
P(2010) = 20103 .a + 20102 .b +2010.c +d = 2011
Nên P(2010) – P(2009) = (20103 – 20093).a + (20102 – 20092).b + c
= (20103 – 20093).a + 4019.b +c = 1


 0,5



  Do [(20103 – 20093).a] nguyên nên [4019.b +c] cũng nguyên

 0,25



 
P(2011) – P(2008) = (20113 – 20083).a +(20112 – 20082).b + 3c
= (20113 – 20083).a +3.(4019.b+c)

 0,5



 Do (20113 – 20083) chia hết cho 3 và [4019.b +c] nguyên nên [3(4019.b +c)]
chia hết cho 3, suy ra [ P(2011) – P(2008)] chia hết cho 3

 0,5



 Vì [ P(2011) – P(2008)]
3 nên [ P(2011) – P(2008)] là hợp số
 0,25


 b
(2đ)



 
 
 
 
  Hai mệnh đề P và Q không thể cùng đúng vì nếu ngược lại thì a có chữ số tận cùng là 1 , nên a + 21có chữ số tận cùng là 2. Vì thế a + 21 không thể là số chính phương.

 0,5



  Tương tự hai mệnh đề Q và R không thể cùng đúng.Do đó mệnh đề Q sai và các mệnh đề P và R là đúng

 0,25



  Theo giả thiết, ta có m, n
N sao cho

Suy ra m2 – n2 = 79 hay (m + n)(m – n) = 79

 0,5



  Vì 79 là số nguyên tố