Đề thi chọn HSG

UBND HUYệN YÊN LạC
PHòNG GD & đt
Đề CHíNH THứC


đề thi giao LƯU hsg LớP 7 CấP HUYệN năm học 2014-2015
Môn : Toán (25/4/2015)
Thời gian:120 phút ( Không kể thời gian giao đề)


Câu 1(2,5 điểm):
a)Tìm x biết

b) CMR nếu a+5b chia hết cho 7 với a;b
Z thì 10a+b cũng chia hết cho 7.
Câu 2(2 điểm):
a) Cho
và
Tính giá trị biểu thức
( giả thiết A có nghĩa).
b) Cho
. Chứng tỏ B không phải là số nguyên.
Câu 3(2 điểm):
a) Cho hàm số f(x) xác định với mọi x
R. Biết rằng với mọi x
0 ta đều có

. Tính f(2)
b) Tìm một nghiệm của đa thức P(x) = x3 +ax2 + bx + c. Biết rằng đa thức có nghiệm và a+2b+4c=

Câu 4(2,5 điểm):
a) Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của cạnh BC.
Chứng minh rằng
.
b) Tam giác HIK có
=
=360. Trên tia phân giác của góc HIK lấy điểm N sao cho góc IKN =120 . Hãy so sánh độ dài của KN và KH
Câu 5(1 điểm):
Xét tổng T=
. Hãy so sánh T với 3




ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 NĂM 2014-2015 HUYỆN YÊN LẠC
Câu 1 a)
















b) Vì a+5b chia hết cho 7 với a;b
Z nên 10a+50b chia hết cho 7
=> 10a+50b -49b chia hết cho 7 hay 10a+b chia hết cho 7.
Câu 2 a) Từ
và
suy ra

Từ
Suy ra

Suy ra
=>

b) Ta có:


= 49- M
Trong đó

Áp dụng tính chất

Ta có:

M<
=1-
<1
Ta lại có: M>

M >
>0
Từ đó suy ra 0Câu 3 a)
Với x =2 ta có:
(*)
Với
ta có:

(**)
Thay (**) vào (*) Ta được:


4

Câu 3 b) Do đa thức có nghiệm nên gọi d là một nghiệm của đa thức đã cho.
Ta có P(x) = (x-d)(x2 + mx+n) =x3 +mx2 +nx – dx2 – dmx – dn
= x3 + (m-d)x2 + (n-dm)x –dn
Cân bằng hệ số ta có: m –d =a ; n-dm = b; dn = -c
Thay a,b,c vào điều kiện đề bài đã cho a+2b+4c=
ta có:







Câu 4 a) Trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho MD=DA
Từ đó chứng minh (ABD =( MCD (c.g.c) => AB =MC
Áp dụng BĐT tam giác vào (AMC ta có AM>AC+MC=AC+AB Hay 2AD >AC+AB

b) Trên tia đối của tia HI lấy điểm D sao cho ID=IK.
=>
IDN=
IKN (c.g.c)=> ND=NK (*)và
=
=120.
Tam giác HIK có
=
=360. Suy ra
= 1080. Mà góc DHK kề bù với góc IHK nên
= 720.(1)
Tam giác IDK có ID=IK ( theo cách vễ điểm D) => Tam giác IDK là tam giác cân, lại có góc DIK =360, nên có
=
=720.(2)
Từ (1) và (2) =>(KDH cân tại K => KD=KH (3)
Mặt khác,
= 720 – 120 = 600 (**)
Từ (*) và (**)=>(KDN là tam giác đều => KD=KN (4)
Từ (3) và (4) => KN=KH .
Câu 5: Ta có: T=
;




=

Trong đó

Ta lại có


Hay N<1 từ đó suy ra t<
<3 hay t<3.