Đề thi chọn HSG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KON TUM ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7
TRƯỜNG THCS TRẦN HƯNG ĐẠO MÔN: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2017 – 2018
(Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 03/04/2017
Thời gian: 90 phút không tính thời gian ghi đề
Câu 1: (4,5 điểm).
1. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A =

b) B =

2. Cho
. Tính giá trị biểu thức: C =

Câu 2: (4,5 điểm)
1. Tìm các số x, y, z, biết:
a)
và x + y + z = 92
b) (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = 0
2. Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x – y = 6
Câu 3: (3,0 điểm)
1. Tìm đa thức A biết: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2
2. Cho hàm số y = f(x) = ax + 2 có đồ thị đi qua điểm A(a – 1; a2 + a).
a) Tìm a
b) Với a vừa tìm được, tìm giá trị của x thỏa mãn: f(2x – 1) = f(1 – 2x)
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao điểm BE và CD. Chứng minh rằng:
a) BE = CD
b)
BDE là tam giác cân
c)
và IA là tia phân giác của

Câu 5: (2,0 điểm)
1. Tìm số hữu tỉ x, sao cho tổng của số đó với nghịch đảo của nó có giá trị là một số nguyên.
2. Cho các số a, b, c không âm thỏa mãn: a + 3c = 2016; a + 2b = 2017. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a + b + c.




ĐÁP ÁN
Câu 1: 1.
a) A =
=

A =
=
=

b) B =
=
=

B =

2. Đặt
= k
. Khi đó:
C =
=
= 8
Câu 2: 1.
a) Ta có:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và x + y + z = 92, ta được:

=



b ) Ta có: (x – 1)2016
0
x
(2y – 1)2016
0
y
|x + 2y – z|2017
0
x, y, z

(x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017
0
x, y, z
Mà (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = 0 nên dấu "=" xảy ra





2. Ta có: xy + 3x – y = 6
x(y + 3) – (y + 3) = 6 – 3

(x – 1)(y + 3) = 3 = 1.3 = 3.1 = (– 1)(– 3) = (– 3)(– 1)
Ta có bảng sau:
x – 1
1
3
– 1
– 3

y + 3
3
1
– 3
– 1

x
2
4
0
– 2

y
0
– 2
– 6
– 4

 Vậy: (x; y) = (2; 0) = (4; – 2) = (0; 6) = (– 2; – 4)
Câu 3:
1. Ta có: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2
A = x2 – 7xy + 8y2 + (3xy – 4y2)
A = x2 – 4xy + 4y2
2.
a) Vì đồ thị hàm số y = f(x) = ax + 2 đi qua điểm A(a – 1; a2 + a) nên:
a2 + a = a(a – 1) + 2
a2 + a = a2 – a + 2
2a = 2
a