Đề thi chọn HSG

PHÒNG GD&ĐT TP HƯNG YÊN
TRƯỜNG THCS

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
Năm học: 2017 - 2018
Môn: Toán - Lớp 6
Thời gian 120 phút



Câu 1. ( 2,0 điểm)
Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220. Tìm chữ số tận cùng của A.
Câu 2. ( 1,0 điểm)
Số tự nhiên n có 54 ước. Chứng minh rằng tích các ước của n bằng n27.
Câu 3. ( 1,5 điểm)
Chứng minh rằng: n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n.
Câu 4. ( 1,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7p + q và pq + 11 cũng là các số nguyên tố.
Câu 5. ( 1,5 điểm)
a) Tìm ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) với (n €N*). Tìm điều kiện của n để hai số đó nguyên tố cùng nhau.
b) Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 28 và các số đó trong khoảng từ 300 đến 440.
Câu 6. ( 1,0 điểm)
Tìm các số nguyên x, y sao cho: xy – 2x - y = -6.
Câu 7. ( 2,0 điểm)
Cho xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay.
a. Tính BD.
b. Biết
.
c. Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK.
Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6
Câu
Đáp án
Điểm

Câu 1
(2,0 điểm)
A. 2 = (2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220.). 2 = 22 + 23 + 24 + 25 + . . . + 221.
Nên A.2 - A = 221 -2
( A = 221 - 2

0,5
0,5


Ta có : 221 = 24.5+1 = (24)5 . 2 = 165 .2
... 165 có tận cùng là 6 . Nên 165 . 2 có tận cùng là 6. 2 có tận cùng là 2.
Vậy A có tận cùng là 2.

0,5
0,5


Câu 2.
(1,0 điểm)




Số tự nhiên n có 54 ước. Chứng minh rằng tích các ước của n bằng n27.


0,25

0,25

0,25


0,25





Câu 3
(1,5 điểm)
Với mọi số tự nhiên n ta có các trường hợp sau:
TH1: n chia hết cho 5 thì tích chia hết cho 5.
TH 2: n chia cho 5 dư 1 thì n = 5k +1
( 4n +1= 20k + 5 chia hết cho 5 ( tích chia hết cho 5.
TH3: n chia cho 5 dư 2 thì n = 5k +2
( 2n +1= 10k + 5 chia hết cho 5 ( tích chia hết cho 5.
TH4: n chia cho 5 dư 3 thì n = 5k +3
( 3n +1= 15k + 10 chia hết cho 5 ( tích chia hết cho 5.
TH 5: n chia cho 5 dư 4 thì n = 5k +4
( n +1= 5k + 5 chia hết cho 5 ( tích chia hết cho 5.
Vậy : n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n.

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 4
(1,0 điểm)
Nếu pq + 11 là số nguyên tố thì nó phải là số nguyên tố lẻ ( vì pq + 11 > 2)
( pq là số chẵn ( ít nhất 1 trong 2 số phải chẵn, tức là bằng 2.
+ Giả sử p = 2. Khi đó 7p + q = 14 + q ; pq + 11 = 2q + 11.
Thử q = 2( loại)
q = 3( t/m)
q > 3 có 1 số là hợp số.
( p = 2 và q = 3.
+ Giả sử q = 2. Giải TT như trên ta được p = 3.
Vậy p = 2; q