Đề thi chọn HSG

Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức:

a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
c. Tìm x để
.

Bài 2( 5 điểm)
a. Giải phương trình sau:

.
b. Cho x ,y, z, a, b , c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn x2 - yz = a
y2 - zx = b và z2 - xy = c . Chứng minh rằng ax + by+ cz chia hết cho
a + b + c .
c. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b +c = 1. Chứng minh rằng:
.

Bài 3:( 5điểm)
a. Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị thì ta vần được một số chính phương.

b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn


c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x2 + 5y2 + 2xy - 4x - 8y + 2018

Bài 4: ( 6 điểm)
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.
1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF.
3. Chứng minh rằng:
.


6) Đáp án và biểu điểm


Bài

Đáp án

Điểm


Bài 1
( 4 điểm)




Ý a
(2 điểm)

+ ĐKXĐ :






0,5


0,5


0,5

0,5




Ý b
(1
điểm)
A nguyên, mà x nguyên nên


Từ đó tìm được x = 1 và x = 0

Loại đi giá trị x = 1( do điều kiện). Vậy x = 0
0,25

0,5

0,25







Ý c
(1 điểm)



Kết hợp với điều kiện:

0,25

0,5

0,25



Bài 2
(5 điểm)

Ý a
(2 điểm)

.
ĐKXĐ:
.
Đặt a = x – 2018 (a
0), ta có hệ thức:








(thoả ĐK)
Suy ra x =
hoặc x =
(thoả ĐK)








0,25
0,25

0,5



0, 5






0,5



Ý b
(1,5
điểm)
Ta có



Vậy ax + by + cz chia hết cho a + b + c





0,5




0,5
0,25


0,25





Ý c
(1,5
điểm)
- Nhận xét:
Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a)
Tương tự có b + ca = (b + a)(b + c)
c + ab = (c + a)(c + b)
do đó:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có




Vậy 2. VT

hay
ĐPCM Đẳng thức xảy ra ( a = b = c =





0,5











0,5


0,5





Bài 3
(5,0 điểm)
Ý a
(2
điểm)
 Gọi
là số phải tìm a, b, c, d
N,


Ta có:



Với k, m
N,






Do đó: m2–k2 = 1353

(m+