Đề thi chọn HSG

Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Đại số
Dạng I : Dãy số viết theo qui luật (lớp 6&7)
Bài toán 1: So sánh giá trị biều thức
với các số 98 và 99.
Ta có:
=

với B =
> 0 Nên A
< 99.
Ta có
với mọi k
nên

Do đó
. Vậy

Tổng quát:

Bài toán 2: Viết số
trong hệ thập phân. Tìm ba số đầu tiên bên trái số đó?
Giải: Ta có
; Đặt
gồm có 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1000 (1)
Đặt C
=
gồm 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1001 (2). Vì B < A < C và B, C đều có 3001 chữ số nên từ (1) và (2) suy ra A có 3001 chữ số nên ba chữ số ầu tiên bên trái của A là 100.
Bài toán 3:
Cho
. Chứng minh rằng
.
Giải : Ta có




. (1)
Với
từ (1) ta có:
. Từ đó :


Với

. Suy ra
.
Với
từ (1) ta có:
. Từ đó :


Với

. Suy ra
. Vậy

Tổng quát:

Bài toán 4: Tính
biết :

;
.
Giải:
Với các số nguyên dương n và k ta có
.
Với k = 30 ta có :


Với k = 1978 ta có :


.
Từ (1) và (2) suy ra
.
Bài toán 5: Tính tổng sau:
.
Giải:
Với
thì

Do đó
.
Bài toán 6: Tính các tổng sau:

(*) ;

Giải:
Ta có:
.





Từ bài toán (*) suy ra
.
Nếu
. Tính giá trị của B = 3A với B = 3A thì B = (n-1)n(n+1) với n = 100







. Do đó
hay
Vậy

Công thức tính tổng các bình phương n số tự nhiên

Bài toán 7: Tính
biết:

.
.
Ta có
và
Nên:




.
Do đó


Bài toán 8:Goi A là tích các số nguyên liên tiếp từ 1 đến 1001 và B là tích các số nguyên liên tiếp từ 1002 đến 2002. Hỏi A + B chia hết cho 2003 không?
Giải:
Ta có:
và
.
Ta viết B dưới dạng:
. Khai triển B có một tổngngoài số hạng
. Tất cả các số hạng khác của tổng đều chứa một thừa số 2003. Nên

với n là số tự nhiên. Do đó:
là một số chia hết cho 2003.
Cách giải khác:
Ta có các cặp số nguyên sau có cùng số dư khi chia cho 2003 ;
. Do đó
và
có cùng số dư khi chia cho 2003. Nên
chia hết cho 2003




Dạng II :Phương pháp tách trong biến đổi phân thức đại số (lớp 8)
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến.

với
. Từ kết quả trên ta có thể suy ra hằng đẳng thức:
(*) trong đó x ; y; z đôi một khác nhau.
Thực chất ở đây ta thay x – y bởi z – y thay z - x bởi y – x giữ nguyên thừa số kia sẽ có hai số hạng ở vế phải, Vận dụng hằng đẳng thức (*) giải các bài tập sau:
Bài toán 1:
Cho
chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c.


Áp dụng hằng đẳng thức (*)





Bài toán 2: Cho
. Rút gọn biểu thức


Giải Vận dụng công thức (*) ta đ ược








Bài toán 3: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:


Biến đổi vế trái, ta được:
=

=

=

. Sau khi biến đổi vế trái bằng vế phải. Đẳng thức được chứng minh.
Bài toán 4: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh:


Giải: Ta có
(1)
Tương tự ta có:
(2)

(3)
Từ (1) ;(2) và (3) ta có


(đpcm)
Bài toán 5: Rút gọn biểu thức:

với

Giải:
Ta có:
(1)
Tương tự:
(2)
(3)
Cộng (1), (2) và (3) vế theo