đề khảo sát hsg

PHÒNG GD&ĐT HIỆP HÒA
TRƯỜNG THCS DANH THẮNG
ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2016-2017
MÔN: Toán 7
Thời gian : 150 phút

Câu 1 ( 4 điểm )
Cho A = + + B = +
CMR là một số nguyên.
Tìm
, y thỏa mãn
.
2 ( 5 điểm )
CMR:

Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện:
. Hãy tính giá trị của biểu thức
.
Tìm một nghiệm của đa thức P(x) = x3 +ax2 + bx + c. Biết rằng đa thức có nghiệm và a+2b+4c=

Câu 3 ( 4 điểm )
Cho 20 số nguyên khác 0 : a1, a2, a3, … , a20 có các tính chất sau:
* a1 là số dương. * Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương.
* Tổng của 20 số đó là số âm. Chứng minh rằng : a1.a14 + a14a12 < a1.a12.
2) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 37 =
+ b - 45.
Câu 4 ( 6 điểm )Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC.
a) Chứng minh rằng : BE = CD.
b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CD. Chứng minh A là trung điểm của MN
c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax . Chứng minh BH + CK
BC.
d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất.
Câu 5 ( 1 điểm )
Cho 4 số không âm a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 1. Gọi S là tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số có được từ 4 số này. S có thể đạt được giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

……… Hết ………..

ĐÁP ÁN
Câu 1
A =
= ( 1 + –
=
B = 58B
B =
2)
Đặt


 Ta có
nên


Vậy
là kết quả cần tìm.

Câu 2

(0,5đ)

...................

2)
+Nếu a+b+c
0
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:

=
= 1
mà
= 2
=>
=2
Vậy B =
=8
+Nếu a+b+c = 0
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:

=
= 0
mà
= 1
=>
=1
Vậy B =
=1
3)
Do đa thức có nghiệm nên gọi d là một nghiệm của đa thức đã cho.
Ta có P(x) = (x-d)(x2 + mx+n) =x3 +mx2 +nx – dx2 – dmx – dn
= x3 + (m-d)x2 + (n-dm)x –dn
Cân bằng hệ số ta có: m –d =a ; n-dm = b; dn = -c
Thay a,b,c vào điều kiện đề bài đã cho a+2b+4c=
ta có:






3
1)
Ta có : a1 + (a2 + a3 + a4) + … + (a11 + a12 + a13) + a14 + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) < 0 ; a1 > 0 ; a2 + a3 + a4 > 0 ; … ; a11 + a12 + a13 > 0 ; a15 + a16 + a17 > 0 ; a18 + a19 + a20 > 0 => a14 < 0.
Cũng như vậy : (a1 + a2 + a3) + … + (a10 + a11 + a12) + (a13 + a14) + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) < 0 => a13 + a14 < 0.
Mặt khác, a12 + a13 + a14 > 0 => a12 > 0.
Từ các điều kiện a1 > 0 ; a12 > 0 ; a14 < 0 => a1.a14 + a14a12 < a1.a12 (đpcm).
2) Nhận xét: Với x ≥ 0 thì
+ x = 2x
Với x < 0 thì
+ x = 0. Do đó
+ x luôn