Đề HSG Toan9

PHÒNG GD&ĐT NGA SƠN ĐỀ THI HS GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015 – 2016
TRƯỜNG THCS NGA THIỆN-NGA GIÁP Ngày 24 tháng 10 năm 2015
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề).


Bài 1: (4,5 điểm)
Cho biểu thức:

a) Tìm điều Kiện xác định của P
b) Rút gọn P
c) Tìm x để

Bài 2: (4,5 điểm)
a) Giải phương trình: x2 + 6x + 10 = 2

b) Cho x, y là các số thoả mãn:

Hãy tính giá trị của biểu thức:


Bài 3: (4,0 điểm)
a) Với a, b > 0 chứng minh:
. Dấu “=” xảy ra khi nào?
b) Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn:

Tìm giá trị lớn nhất của


Bài 4: (5,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có AC > BD; kẻ CH vuông góc với AD (H(AD); kẻ CK vuông góc với AB (K(AB).
Chứng minh
đồng dạng
.
Chứng minh
đồng dạng
, suy ra HK = AC.sinBAD
Chứng minh AB.AK + AD.AH = AC2

Bài 5: (2,0 điểm)
Cho
vuông tại A và điểm M nằm trên cạnh huyền BC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M lên các cạnh AB và AC. Chứng minh rằng:




-------------------------Hết-------------------------
Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

LIÊN TRƯỜNG THCS NGA THIỆN-NGA GIÁP
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học : 2015 – 2016
Môn : TOÁN. ngày: 24/10/2015

(Chú ý: Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang).
Bài 1: (4,5 điểm)
a) Tìm được ĐKXĐ
(0,5 điểm)
b) Với
, ta có:




(0,75 điểm)

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)
Vậy Với
thì
(0,25 điểm)
c) Với
, ta có:

(0,50 điểm)

(0,50 điểm)

(TMĐK) (0,50 điểm)
Vậy với
thì
(0,25 điểm)

Bài 2: (4,5 điểm)
Giải phương trình: x2 + 6x + 10 = 2

Điều kiện
(0,25 điểm)
Ta có: x2 + 6x + 10 =


(1,25 điểm)

(0,75 điểm)
b) Cho x, y là các số thoả mãn:
(*)
Hãy tính giá trị của biểu thức:

Từ




(1) (0,75 điểm)
Tương tự ta có:
(2) (0,75 điểm)
Lấy (1) cộng với (2) ta có : y =
x
Suy ra

Vậy A = 1 (0,75 điểm)

Bài 3: (4,0 điểm)
a) Với a, b > 0 chứng minh:
. Dấu “=” xảy ra khi nào?
Với a, b > 0 ta có: (a – b)2
0
a2 + b2
2ab
( a + b )2
4ab (0,75 điểm)


(0,75 điểm)

. Dấu “ = ” xảy ra
a = b. (0,50 điểm)

b) Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn:

Tìm giá trị lớn nhất của


Vì x, y, z là các số dương, áp dụng bất đẳng thức ở câu a) ta có :
(1)
(0,50 điểm)

(2)

(0,50 điểm)

(3)
(0,50 điểm)
Từ(1); (2); (3) suy ra

( vì
) Dấu “=” xảy ra
x = y = z =

Vậy
(0,50 điểm)

Bài 4: (5,0 điểm) Vẽ hình đúng: (0,25 điểm)


a) Chứng minh được ∆KBC
∆HDC (g.g) (1,25 điểm)
b) Chứng minh được ∆HCK