ĐỀ HSG TOÁN7

Toán 7
Kỳ thi chọn thi HSG - năm học 2016-2017
Thời gian : 12o phút .
Đề số 7:

Bài 1. Tính

Bài 2.: a, Chứng minh rằng tổng:


b, Chứng minh rằng nếu
thì

Bài 3: a, Tìm x nguyên biết :

b, Tìm x biết

c, Tìm x biết:


Bài 4 : : a) Tìm x nguyên để 6
chia hết cho 2

b) Tìm
để
A( Z và tìm giá trị đó.

Bài 5 : Tìm số tự nhiên n để phân số
có giá trị lớn nhất
Bài 6 : a) Số
có chia hết cho 3 không ? và cho 9 không ?
b) Chứng minh rằng:
chia hết cho 7

Bài 7 . Chứng minh rằng: f(x)
có giá trị nguyên với mọi
x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên
Bài 8: Cho
có
> 900. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm D sao cho IB = ID. Nối c với D.
a. Chứng minh

b. Gọi M là trung điểm của BC; N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng I là trung điểm của MN
c. Chứng minh AIB

d. Tìm điều kiện của
để



---------- Hết ---------






H-dẫn giải : Đề7

Bài 1 : Tính

HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = ….



=



Bài 2 a) Chứng minh rằng tổng:


b, Chứng minh rằng nếu
thì

HD : Đặt

a = kb, c = kd .
Suy ra :
và

Vậy

Bài 3 :Tìm x nguyên biết
a)

Bài 4: a) Tìm các số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = 7
b) Tìm
biết:

HD : a) x – y + 2xy = 7
2x – 2y + 2xy = 7
(2x - 1)( 2y + 1) = 13
b) Từ

y2
25 và 25 – y2 chia hết cho 8 , suy ra y = 1 hoặc y = 3 hoặc y = 5 , từ đó tìm x

BÀI 5: a) Tìm x nguyên để 6
chia hết cho 2

b) Tìm
để
A( Z và tìm giá trị đó.
A =
. HD: A =
=

Bài 6 : Tìm số tự nhiên n để phân số
có giá trị lớn nhất
HD : Ta
Để
nhất thì
lớn nhất
và 14n – 21 có giá trị nhỏ nhất
và n nhỏ nhất
n = 2
Bài 7 : a) Số
có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?
b) Chứng minh rằng:
chia hết cho 7
HD: a) Ta có 101998 = ( 9 + 1)1998 = 9.k + 1 ( k là số tự nhiên khác không)
4 = 3.1 + 1
Suy ra :
= ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho 3 , không chia hết cho 9
Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + 1 ( k
N*)
4133 = ( 7.6 – 1)33 = 7.q – 1 ( q
N*)
Suy ra :
= 7k + 1 + 7q – 1 = 7( k + q)
Bài 8: Chứng minh rằng: f(x)
có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên
HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d
Nếu f(x) có giá trị nguyên với mọi x
d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d là các số