Đề HSG toán 7 có ĐA

ĐỀ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆNHỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN 7
NĂM HỌC 2009 - 2010


Thời gian : 120’ (Không kể thời gian phát đề)


Bài 1:(4 điểm)
a) Thực hiện phép tính:



b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :

chia hết cho 10

Bài 2:(4 điểm)
Tìm x biết:
a.


b.

Bài 3: (4 điểm)
Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo
. Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A.
Cho
. Chứng minh rằng:

Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và
AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ

. Biết
= 50o ;
=25o .
Tính
và

Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có
, vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phân giác của góc BAC
AM = BC
……………………………… Hết ………………………………
 HƯỚNG DẪN
Bài 1:(4 điểm):


a) (2 điểm)


b) (2 điểm)

=

=

=

= 10( 3n -2n)
Vậy

10 với mọi n là số nguyên dương.


Bài 2:(4 điểm)


a) (2 điểm)


b) (2 điểm)







Bài 3: (4 điểm)


a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
Theo đề bài ta có: a : b : c =
(1)
và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)
Từ (1)

= k


Do đó (2)



k = 180 và k =

+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.
Khi đó ta có số A = a + b + c = 237.
+ Với k =
, ta được: a =
; b =
; c =

Khi đó ta có só A =
+(
) + (
) =
.
b) (1,5 điểm)
Từ
suy ra

khi đó

=




Bài 4: (4 điểm)


a/ (1điểm) Xét
và
có :
AM = EM (gt )

=
(đối đỉnh )
BM = MC (gt )
Nên :
=
(c.g.c ) 0,5 điểm

AC = EB
Vì
=

=

(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )
Suy ra AC // BE . 0,5 điểm
b/ (1 điểm )
Xét
và
có :
AM = EM (gt )

=
( vì
)
AI = EK (gt )
Nên
( c.g.c )
Suy ra
=

Mà
+
= 180o ( tính chất hai góc kề bù )


+
= 180o

Ba điểm I;M;K thẳng hàng
c/ (1,5 điểm )
Trong tam giác vuông BHE (
= 90o ) có
= 50o

= 90o -
= 90o - 50o =40o

=
-
= 40o - 25o = 15o

là góc ngoài tại đỉnh M của

Nên
=
+
= 15o + 90o = 105o
( định lý góc ngoài của tam giác )

Bài 5: (4 điểm)

a) Chứng minh
ADB =
ADC (c.c.c)
suy ra

Do đó

b)
ABC cân tại A, mà
(gt) nên


ABC đều nên

Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra
.
Tia BM là phân giác của góc ABD
nên


Xét tam giác ABM và BAD