ĐỀ HSG TOÁN 7

Toán 7
Kỳ thi chọn thi HSG - năm học 2016-2017
Thời gian : 12o phút .
Đề số 8:

Bài 12 điểm)
Từ điểm O tùy ý trong tam giác ABC, kẻ OM, ON , OP lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, Ab. Chứng minh rằng:
AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2
Bài 2 :Ba phân số có tổng bằng
, các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5, các mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó.
Bài 3 : Chứng minh rằng:
.
Bài 4 : :
Tìm x biết:

a,
+
+
+
+
=0
b, Chứng minh rằng mọi số nguyên dương n thì: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hết cho 10
c, Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2;3;4. Hỏi ba chiều cao tương ứng ba cạnh đó tỉ lệ với số nào?
Bài 5 : Tìm đa thức bậc hai sao cho :
.
áp dụng tính tổng : S = 1 + 2 + 3 + … + n.
Bài 6 : Chứng minh rằng
là một số tự nhiên.
Bài 7 . Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức A=
Có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị đó.
Bài 8: Cho tam giác cân ABC, AB=AC. Trên cạnh BC lấy điểm D. Trên Tia của tia BC lấy điểm E sao cho BD=BE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh:
a. DM= ED
b. Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN.
c. Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên BC.
Bài 9 : a, Hãy so sánh A và B, biết: A=
.
b, Thực hiện phép tính:
A=

c, Tìm các số x, y nguyên biết rằng:




H-dẫn giải
Bài 1: áp dụng định lí Pi ta go vào tam giác vuông NOA và NOC ta có:
AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2 ( CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, 5 điểm)
Tương tự ta cũng có: AP2 - BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0, 5 điểm)
Từ (1); (2) và (3) ta có: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 ( 0, 5 điểm).
Bài 2 : Các phân số phải tìm là: a, b, c ta có : a + b + c =

và a : b : c =
(1đ) =>

Bài 3:

;
; …..;
.
Vậy:

Bài 4 :a,

......



b, Ta có


(0,5đ)
.................

(0,5đ)
c, Gọi độ dài 3 cạnh là a , b, c, 3 chiều cao tương ứng là x, y, z, diện tích S






vậy x, y, z tỉ lệ với 6 ; 4 ; 3

Bài 5:-Dạng tổng quát của đa thức bậc hai là :
(a
0).
Ta có :
.




Vậy đa thức cần tìm là :
(c là hằng số).
áp dụng :
+ Với x = 1 ta có :

+ Với x = 2 ta có :

………………………………….
+ Với x = n ta có :


S = 1+2+3+…+n =
=
.
Lưu ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm