ĐỀ HSG TOAN 7-2018-NL

///







SƠ LƯỢC BÀI GIẢI
Câu 1:


A =
+

Ta có A=
+

A =
=

B=
= .....( Tự giải)
Câu 2: 4 điểm
1) Tìm x; y biết | x - 2013| + | 1007 -
y| =0
Ta có | x - 2013|≥ 0 với mọi x và | 1007 -
y|≥ 0 với mọi y
| x - 2013| + | 1007 -
y| =0 khi | x - 2013| =0 và | 1007 -
y| = 0
suy ra x = 2013 và y = 2014
2)Cho n là số tự nhiên . c/m 9.10n + 18 chia hết cho 27
Ta có :9.10n + 18 = 9.(10n + 2)
(10n + 2) = 1000000….2 ( có n - 1 chữ số 0)
số này có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên (10n + 2) chia hết cho 3
do đó (10n + 2) = 3k ( k là số tự nhiên)
9.10n + 18 = 9.(10n + 2) = 9 . 3k = 27k
vậy 9.10n + 18 = 9.(10n + 2) chia hết cho 27 với mọi số tự nhiên n
Câu 3:4 điểm
1) cho
và 4x3 - 3 = 29. Tính x + 2y + 3z
vì 4x3 - 3 = 29.nên 4x3 = 32 hay x = 2
thay vào dãy tỉ số trên ta có

từ đó tìm được y = 7; z = 1vậy x + 2y + 3z = 2 +14+3 =21
2) Tìm các số nguyên dương x, biết: (3x-1)(4x-1)(5x-1)(6x-1) -120 =0
Vì x nguyên dương nên 3x - 1 < 4x -1< 5x-1 < 6x-1 mà 4x - 1 và 6x - 1 là các số lẻ 120 chỉ có sự phân tích là 120 = 2 .3. 4 .5 = -5.(-4).(-3).(-2)
Nên: (3x-1)(4x-1)(5x-1)(6x-1) = 2 . 3 . 4 . 5 suy ra x = 1
………………..
Câu 4:6 điểm
Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ
đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng:
a) AE = AFb) BE = CFc)

a) Ta C/M được ∆ANE = ∆ ANF ( c. g . c)
Hoặc ∆AEF cân tại A. (Có AH vừa là tia phân giác, vừa là đương cao)
AE = AF
b) c/m BE = CF
+ Kẻ BI // AC
∆MBI = ∆MCF( c. g . c)
vì ∆AEF cân tại A

;
( do đồng vị)



∆ BEI cân tại B suy ra BE = CF
c)Ta có: AB + AC = AB + AF + CF =(AB+FC)+AF mà CF = BC và AE = AF

2 AE = AB + AC hay

/
Câu 5: Cho a, b, c là các số nguyên tố cùng nhau. C/m A = ab+ac+bc và B =a+b+c và
C = abc nguyên tố cùng nhau
Gọi UCLN(ab,ac,bc,abc) = d
ab,ac,bc, abc đều chia hết cho d
ab+ac+bc chia hết cho d và abc chia hết cho da
- Nếu d > 1 thì do a, b, c nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên chỉ có hoặc a, hoặc b., hoặc c chia hết cho d
không làm mất tính tổng quát của bài toán ta giả sử d là ước của a mà không phải là ước của b và c

d là ước của ac mà không phải là ước của bc
khi đó ac + bc +ac không chia hết cho d vì bc không chia hết cho d mâu thuẫn với gt
(ab,ac,bc,abc) = d
ab, ac, bc, abc đều chia hết cho d
suy ra d = 1 suy ra ĐPCM