Đề HSG + đáp án

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh
Năm học 2004 – 2005
Môn : Toán lớp 7
Thời gian : 150 phút

Câu 1 ( 2 điểm)
Thực hiện phép tính :
a-

b-


Câu 2 ( 2 điểm)
Tìm số nguyên a để
là số nguyên
Tìm số nguyên x,y sao cho x-2xy+y=0
Câu 3 ( 2 điểm)
Chứng minh rằng nếu a+c=2b và 2bd = c (b+d) thì
với b,d khác 0
Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+… để được một số có ba chữ số giống nhau .
Câu 4 ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD=2CB . Tính góc ADE
Câu 5 ( 1điểm)
Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1


Đáp án chấm Toán 7
Câu
Hướng dẫn chấm
Điểm

1.a
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa
1Điểm

1.b
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa
1Điểm

2.a
Ta có :
=

vì a là số nguyên nên
là số nguyên khi
là số nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau :
a+1
-3
-1
1
3

a
-4
-2
0
2


Vậy với a
thì
là số nguyên
0,25



0,25


0,25


0,25









2.b
Từ : x-2xy+y=0
Hay (1-2y)(2x-1) = -1
Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên do đó ta có các trường hợp sau :


Hoặc

Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài

0,25



0,25

0,25

0,25

3.a
Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d)
Hay ad=bc Suy ra
( ĐPCM)
0,5

0,5

3.b
Giả sử số có 3 chữ số là
=111.a ( a là chữ số khác 0)
Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :

Hay n(n+1) =2.3.37.a
Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1<74 ( nếu n = 74 không thoả mãn )
Do đó n=37 hoặc n+1 = 37
Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó
không thoả mãn
Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó
thoả mãn
Vậy số số hạng của tổng là 36



0,25


0,25




0,5

4



Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 do đó CDH = 300
Nên CH =

CH = BC
Tam giác BCH cân tại C

CBH = 300
ABH = 150

Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân tại H
Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 450+300=750












0,5



0,5

1,0

1,0

5
Từ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2
Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x=3