DE+DAP AN TOAN NANG KHIEU TP HCM.

TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU MÔN THI: TOÁN (Chuyên)
Thời gian: 150 phút
Câu I: Cho phương trình: với m là tham số.
Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng: khi đó không thể tái dấu nhau.
Tìm m sao cho:

Câu II: Giải hệ phương trình:
Câu III: Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Chứng minh rằng:
Câu IV: Cho với a là số nguyên dương.
Chứng minh rằng mọi ước của M đều là số lẻ.
Tìm a sao cho M chia hết cho 5. Với những giá trị nào của a thì M là lũy thừa của 5?
Câu V: Cho có . Đường tròn (I) nội tiếp tam giác (với tâm I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng ID cắt EF tại K, đường thẳng qua K và song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M, N.
Chứng minh rằng: các tứ giác IFMK và IMAN nội tiếp.
Gọi J là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh ba điểm A, K, J thẳng hàng.
Gọi r là bán kính của đường tròn (I) và S là diện tích tứ giác IEAF. Tính S theo r và chứng minh chỉ là diện tích
Câu VI: Trong một kỳ thi, 60 thí sinh phải giải 3 bài toán. Khi kết thúc kỳ thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí sinh bất kỳ luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giải được. Chứng minh rằng:
Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được.
Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được .

( HẾT(
ĐÁP ÁN
Câu I:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt



Khi đó:
Do đó không thể trái dấu.
Phương trình có hai nghiệm không âm

Ta có:


Vậy là giá trị cần tìm.
Câu II: Ta có:




Thử lại, ta có: là nghiệm của hệ phương trình đã cho.


Câu III:
Ta có: và .
Do đó : . Nên
Ta cũng có :
Nên
Nếu x = y thì . Ta có : x = y = 0. Nên
Nếu thì từ ta có :
Mà . Nên . Mà . Nên
Vậy
b) nên . Do đó :
Vì và . Do đó:
Vậy
Câu IV:
a) là số lẻ (Vì a, a + 1 là hai số nguyên dương liên tiếp nên )
Do đó mọi ước cả M đều là số lẻ.
b)
Ta có: . Do đó: . Nên
Ta có : a chia cho 5 dư 1, tức
Đặt vì do nên )
Ta có : theo trên ta có :
Ta có :

Nếu ta có : , mà 5 không chia hết cho : vô lí.
Vậy n = 1. Ta có : . Do đó : k = 0. Nên a = 1.
Câu V :


Ta có : MN // BC (gt), ((I) tiếp xúc với BC tại D)


Tứ giác IFMK nội tiếp.
Mặt khác : Tứ giác IKEN nội tiếp.
Ta có : (Tứ giác IFMK nội tiếp) ; (Tứ giác IKEN nội tiếp).
Tứ giác IMAN nội tiếp.
Ta có :

Mặt khác : IE = IF (= r) cân tại I.
cân tại I có IK là đường cao.
IK là đường trung tuyến của
K là trung điểm của MN.

Mà BC = 2.BJ (J là trung điểm của BC)
Do đó:
Mặt khác: có MN // BC
(Hệ quả của định lý Thales)
Ta có:
Xét và , ta có:


Hai tia AK, AJ trùng nhau.
Vậy ba điểm A, K, J thẳng hàng.
AE, AF là các tiếp tuyến của đường tròn (I)
AE = AF, AI là tia phân giác của
cân tại A có