Đề+Đáp án HSG-Toán7-2011.doc

Phòng GD-ĐT
h.Lập Thạch - Vĩnh Phúc
ĐỀ CHỌN HSG TOÁN LỚP 7
Ngày thi : 06-5-2011 ( Thời gian làm bài 120 phút )



Bài 1 : (2 điểm)
a/ Cho
Chứng minh rằng :
là một số nguyên .
b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

Bài 2 : (4 điểm)
a/ Cho ba số a,b,c thoả mãn :

Tính giá trị của biểu thức :

b/ Tìm cặp số (x;y) nguyên dương thoả mãn xy = 3(y-x)
Bài 3 : (3 điểm)
Cho hai đa thức :

a/ Tìm đa thức
b/Tìm nghiệm của C(x)
Bài 4 : (2 điểm)
So sánh A & B . Biết

Bài 5 : (5 điểm)
Cho tam giác ABC có các trung tuyến BD và CE cắt nhau tạu G . Trên tia đối của tia DB lấy M sao cho D là trung điểm của BM . Trên tia đối của tia CE lấy N sao cho E là trung điểm của CN . Chứng minh
a/ A là trung điểm của đoạn NM
b/

c/ Các đường thẳng AG, BN , CM đồng quy .
Bài 6 : (2 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có góc A bằng 30 độ , trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ tam giác đều BCD . Chứng minh rằng :



HẾT.
gv: Nguyễn Quang Sáng (sưu tầm)





Phòng GD-ĐT
h.Lập Thạch - Vĩnh Phúc
ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HSG TOÁN LỚP 7
Ngày thi : 06-5-2011 ( Thời gian làm bài 120 phút )



Bài 1 : (2 điểm)
a/ Cho

Do đó
là một số nguyên .
b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

Với mọi x ta có :

Do đó

C = 24 khi và chỉ khi

Vậy giá trị lớn nhất của C = 24 khi và chỉ khi

Bài 2 : (4 điểm)
a/ Từ
. Suy ra :


Từ đó suy ra :

Do

Ta có

b/ Tìm cặp số (x;y) nguyên dương thoả mãn xy = 3(y-x)


Vì x, y nguyên dương nên y + 3 là ước của 9 ,

Khi đó x = 2
Khi x = 6 , y = 2 thoả mãn
Vậy (x;y) = (2;6)
Bài 3 : (3 điểm)
a/ Kết quả

b/ C(x) = 0 khi và chỉ khi
Vậy đa thức C(x ) có hai nghiệm là x = 1 và x = -2
Bài 4 : (2 điểm)
Hs chứng minh bài toán tổng quát
với mọi a,b nguyên dương
Thật vậy không mất tính tổng quát , giả sử a > b
Ta có :


Vậy
Áp dụng với a = 100 ; b = n = 99 ta có điều phải chứng minh .

Bài 5 : (5 điểm)
a/ A là trung điểm của đoạn NM
Chứng minh AM = AN
Chứng minh A,M,N thẳng hàng .
b/ Chứng minh .
Suy ra :
c/ Gọi I là giao điểm của BM và CN
Chứng minh tam giác ABN bằng tam giác CIB (g.c.g) . Từ đó chứng minh B là trung điểm của IN
Tương tự C là trung điểm của IM
Suy ra G là trọng tâm của tam giác IMN
Suy ra GI là trung tuyên của tam giác IMN mà A là trung điểm của MN nên IG đi qua A . hay A,G,I thẳng hàng .
Kết luận : Các đường thẳng AG, BN , CM đồng quy .













Bài 6 : (2 điểm)
Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C vẽ đoạn thăngAE sao cho AE vuông vớí AC và
AE = AC .
Chứng minh tam giác AEC cân có một góc bằng 60 độ
Suy ra góc ACE bằng 60 độ
Chứng minh được tam giác ACD bằng tam giác ECB (c.g.c)
Lí luận được
Rồi suy ra điều phải chứng minh .







HẾT.
gv: Nguyễn Quang Sáng (sưu tầm)