De + dap an hsg toan 8

PHÒNG GD&ĐT VĨNH TƯỜNG
ĐỀ GIAO LƯU HSG LỚP 8 NĂM HỌC 2013-2014


ĐỀ CHÍNH THỨC


MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút


Câu 1: (1,5đ)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2014x2 + 2013x + 2014.
b) Giải phương trình: (2x - 8)3 + (4x + 13)3 = (4x + 2x + 5)3
Câu 2: (1,5đ)
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 - 2xy + 2y2 - 2x + 6y + 5 = 0.
b) Cho các số a, b, c thỏa mãn: a(a – b) + b(b – c) + c(c – a) = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = a3 + b3 + c3 - 3abc + 3ab - 3c + 5.
Câu 3: (1,5đ)
a) Cho các số tự nhiên a1, a2, ....., a2013 có tổng bằng 20132014
Chứng minh rằng:
chia hết cho 3.
b) Tìm số tự nhiên n để n + 18 và n - 41 là hai số chính phương.
Câu 4: (1,5đ)
a) Cho đa thức P(x) = x2 + bx + c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng các đa thức x4 + 6x2 + 25 và 3x4 + 4x2 + 28x + 5 đều chia hết cho P(x). Tính P(-2).
b) Cho hai số x; y thỏa mãn: x2 + x2y2 – 2y = 0 và x3 + 2y2 – 4y + 3 = 0
Tính giá trị của biểu thức Q = x2 + y2
Câu 5: (2,5đ)
Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF.
a) Chứng minh rằng: AE ( BC.
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB.
Câu 6: (1,5đ)
a) Cho A là một tập hợp gồm 1008 số nguyên dương phân biệt bất kì, mỗi số không vượt quá số k. Tìm giá trị lớn nhất của k sao cho trong A có ít nhất một số là bội số của một số khác cũng thuộc A.
b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:





Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên học sinh dự thi:………………………………………;SBD:……………





PHÒNG GD&ĐT VĨNH TƯỜNG

HD CHẤM GIAO LƯU HSG CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013 -2014
Môn: Toán 8


Câu
Phần
Nội dung trình bày
Điểm

1
a
Ta có: x4 + 2014x2 + 2013x + 2014
= x4 – x + 2014x2 + 2014x + 2014
= x(x -1)(x2 + x +1) + 2014(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 2014)

0,25
0,5


b
Đặt 2x – 8 = a, 4x + 13 = b ( 4x + 2x + 5 = a + b
Ta có phương trình: a3 + b3 = (a + b)3
( 3ab(a + b) = 0 ( a = 0; b = 0; a + b = 0
Nếu a = 0 thì 2x – 8 = 0 ( x = 3
Nếu b = 0 thì 4x + 13 = 0 ( 4x = -13 (loại)
Nếu a + b = 0 thì 4x + 2x + 5 = 0 ( 4x + 2x = -5 (loại)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
0,25

0,25


0,25

2
a
 Ta có: x2 - 2xy + 2y2 - 2x + 6y + 5 = 0
( (x - y – 1)2 + (y + 2)2 = 0
Từ đó suy ra: x - y – 1 = 0 và y + 2 = 0
Vậy x = - 1, y = - 2

0,5
0,25


b
Từ a(a – b) + b(b – c) + c(c – a) = 0 suy ra:
(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 ( a = b = c
Do đó: A