Đề đáp án HSG Toán 7 NH 2016-2017

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG


ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm 01 trang

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay!
Câu1. (2,0 điểm)
a) Tìm x biết:

b) Cho B = 1+

Tìm số nguyên dương x để B = 115.
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn
.
Tính giá trị của biểu thức: A = 2016.x + y2017 + z2017.
b) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: 2x = 3y = 5z và
= 5.
Tìm giá trị lớn nhất của 3x – 2z.
Câu 3. (2,0 điểm)
a) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M =
có giá trị nhỏ nhất.
b) Cho đa thức f(x) = 2016.x4 – 32(25.k + 2).x2 + k2 – 100 (với k là số thực dương cho trước). Biết đa thức f(x) có đúng ba nghiệm phân biệt a, b, c (với a < b < c). Tính hiệu của a – c.
Câu 4. (2,5 điểm) Cho đoạn thẳng BC cố định, M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Vẽ góc CBx sao cho
, trên tia Bx lấy điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng BM và BA tỉ lệ với 1 và
. Lấy điểm D bất kì thuộc đoạn thẳng BM. Gọi H và I lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:
a) DN vuông góc với AC.
b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi khi D di chuyển trên đoạn thẳng BM.
c) Tia phân giác của góc HIC luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5. (1,5 điểm)
a) Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn
là số nguyên tố.
b) Trong một bảng ô vuông gồm có 5x5 ô vuông, người ta viết vào mỗi ô vuông chỉ một trong 3 số 1; 0 hoặc -1. Chứng minh rằng trong các tổng của 5 số theo mỗi cột, mỗi hàng, mỗi đường chéo phải có ít nhất hai tổng số bằng nhau.
--------------Hết----------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ....................................................SBD:..............Phòng thi.................PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIAO LƯU HSG LỚP 7 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2016 -2017
MÔN: TOÁN 7
Lưu ý: Sau đây chỉ là gợi ý một cách giải và dự kiến cho điểm tương ứng, nếu thí sinh giải bằng cách khác và đúng, các giám khảo dựa trên gợi ý cho điểm của hướng dẫn chấm để thống nhất cách cho điểm. Câu 4 học sinh không vẽ hình (hoặc vẽ hình sai) thì không cho điểm. Tổ chấm có thể thống nhất chia điểm đến mức nhỏ hơn trong hướng dẫn và đảm bảo nguyên tắc: điểm của mỗi câu làm tròn đến 0,25; điểm của toàn bài là tổng điểm của cả 5 câu và không làm tròn

Câu
Nội dung cần đạt
Điểm









1
(2đ)













2
(2đ)
a)


(*)
Điều kiện để x thỏa mãn bài toán là

Khi đó
nên (*) trở thành

(điều kiện
)
Nếu
ta có 3x – 3 = x nên x =
(thỏa mãn)
Nếu
ta có 3 - 3x = x nên x =
(thỏa mãn)
Vậy



0,25

0,25

0,25

0,25


b) B = 1+
=
= 1+

=

Từ đó B = 115 khi

Mà x là số nguyên dương nên x và x + 3 là ước dương của 460 nên x = 20.
Vậy x = 20

0,25

0,25

0,25
0,25


a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

=
=
=
=2
( x+y+z = 0,5 (
= 2
( x =
; y =
; z = -

Khi đó ta có 2016.x + y2017 + z2017 = 2016.
+0 = 1008
Vậy với x,y,z là các số thực thỏa mãn

thì giá trị của biểu thức 2016.x + y2017 + z2017 là