Đề & ĐA HSG Toán 7 năm 2014-2015

PHÒNG GD QUẬN THANH KHÊ
TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG

ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN - LỚP 7
Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008
(Thời gian: 90 phút, không kể thời gian giao đề)


Bài 1 (2,5 điểm).
Tìm số nguyên x biết :
a)
.
b)
( với m ( N ; x ( 0 ).

Bài 2 (2,0 điểm).
a) Chứng minh : 32005 + 32006 + 32007 + 32008 + 32009 chia hết cho 11 .
b) Cho :
. Chứng tỏ rằng :


Bài 3 (2,0 điểm).
Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của số đó tỉ lệ thuận với các số 1 ; 2 và 3 ?

Bài 4 (3,5 điểm).
Cho (ABC có A < 900, đường cao AH . Lấy điểm M sao cho AB là đường trung trực của HM và lấy điểm N sao cho AC là đường trung trực của HN. Nối MN lần lượt cắt AB và AC tại I và K. Chứng minh :
CI // HM và BK // HN .
Trong trường hợp A ( 900, chứng tỏ ta vẫn có CI // HM và BK // HN.
----------- Hết -----------

PHÒNG GD QUẬN THANH KHÊ
TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG

HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 7
Khoá ngày 10 tháng 4 năm 2008


Bài 1 ( 2,5 điểm )
a) 1,25 điểm
+ Rút gọn vế phải có
........................................................0,25đ
=
=
...................................................................0,5đ
+ Vậy ta có
=
(
= 1 ...............................................................................0,25đ
+ Tính được x = ( 1 ...................................................................................................0,25đ

b) 1,25 điểm
+ Viết tách xm + 3 = x3.xm và đặt nhân tử chung trong ngoặc vuông đúng ...............0,25đ
+ Rút gọn và đưa tới ( 2x - 1 )m - xm = 0 ............................................0,25đ
+ Chuyển vế có ( 2x - 1 )m = xm và xét :
* Nếu m là số tự nhiên lẻ thì 2x - 1 = x ( x = 1 .................................................0,25đ
* Nếu m là số tự nhiên chẵn thì 2x - 1 = x và 2x - 1 = - x ( x = 1 và x =
( loại ) ......0,25đ
+ Vậy x = 1 ..............................................................................................0,25đ

Bài 2 ( 2,0 điểm )
a) 1,0 điểm
+ Đặt 32005 làm nhân tử chung đúng .............................................................0,25đ
+ Tính đúng tổng trong ngoặc bằng 121 .......................................................0,25đ
+ Vì 121 chia hết cho 11 nên tích 32005.121 cũng chia hết cho 11 ................0,5đ
+ Kết luận tổng các luỹ thừa đã cho chia hết cho 11 ....................................0,25đ
b) 1,0 điểm
+ Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau thì
=
...........0,5đ
+ Lập tích các tỉ số để có
........................................0,5đ

Bài 3 ( 2,0 điểm )
+ Gọi các chữ số của số đó là x ; y ; z với 1 ( x ( 9 ; 0 ( y ( 9 ; 0 ( z ( 9 ..............0,25đ
+ Vì số đó chia hết cho 18 nên chia hết cho 9 ( ( x + y + z ) chia hết cho 9 (1) .............................0,25đ
+ Theo điều kiện trên thì 1 ( x + y + z ( 27 (2) ......................................................0,25đ
Từ (1) & (2) ( x + y + z nhận các giá trị 9 ; 18 ; 27 (3) .........................................0,25đ
Theo bài thì
( N (4) ; từ (4) & (3) thì x + y + z = 18 .................0,25đ
+ Thay x + y + z = 18 vào (4) lần lượt có x = 3 ; y = 6 và z = 9 ...............................0,25đ
+ Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số tận cùng là 6 .........................................0,25đ
Kết luận : Các số cần tìm là 396 hoặc 936 ................................................................0,25đ

Bài 4 ( 3,5 điểm )

a) 1,5 điểm A
N
K
I

M



B H C
+ Vì I ( đường trung trực của MH nên IB là phân giác của MIH (1)
+ Vì K ( đường trung trực của NH nên KC là phân giác của HKN (2)
+ Do IB và KC cắt nhau tại A nên AH là phân giác trong tại đỉnh H của (IHK 1,0 điểm
+ Do