Đề & ĐA HSG Toán 7 năm 2013-2014

Đề thi học sinh giỏi năm học 2009-2010
Môn: Toán 7
Thời gian: 120 phút

Bài 1 (4 điểm)
a/ Tính:
A=

b/ Cho 3 số x, y, z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện:

Hãy tính giá trị biểu thức:
B =
.

Bài 2 (4 điểm)
a/ Tìm x, y, z biết:

b/ CMR: Với mọi n nguyên dương thì
chia hết cho 10.

Bài 3 (4 điểm)
Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy. Để đánh máy một trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ 2 cần 4 phút, người thứ 3 cần 6 phút. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong.

Bài 4 (6 điểm):
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA. Chứng minh rằng:
a/ AC=EB và AC // BE
b/ Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho: AI=EK.
Chứng minh: I, M, K thẳng hàng.
c/ Từ E kẻ EH
BC (H
BC). Biết góc HBE bằng 500; góc MEB bằng 250, tính các góc HEM và BME ?

Bài 5 (2 điểm):
Tìm x, y
N biết:






Hướng dẫn chấm 2009-2010
Bài
ý
Nội dung
Điểm

1


4 điểm










a

+
=
+

=
+
=
=
=



2


b
Ta có:









Vậy B=8
0,5


0,5

0,5

0,5

2





4








a
Áp dụng tính chất

0



Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2
0,25



1,5



0,25


b
Ta có:
=




= 10.(3n – 2n-1)
Vì 10.(3n – 2n-1) chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương
Suy ra điều phải chứng minh.
0,75
0,5

0,5
0,25



3



















Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ 3 đánh máy được theo thứ tự là x,y,z. Trong cùng một thời gian, số trang sách mỗi người đánh được tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong 1 trang; tức là số trang 3 người đánh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 6.
Do đó ta có:
.
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:


.
Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh được lần lượt là: 180, 225, 150.
0,5


1,0

0,75

0,75
0,75

0,25

4














6













a












b







c



(2 điểm)
Xét
và
có :
AM = EM (gt )
góc
=góc
(đối đỉnh)
BM = MC (gt )
Nên:
=
(c.g.c)

AC = EB
Vì
=

=> Góc MAC bằng góc MEB
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE)
Suy ra AC // BE .
(2 điểm)
Xét
và
có :
AM = EM (gt)

=
(vì
); AI = EK (gt )
Nên
( c.g.c ). Suy ra
=

Mà
+
= 180o (tính chất hai góc kề bù)


+
= 180o
Ba điểm I;M;K thẳng hàng