Đề & ĐA HSG Toán 7 năm 2006-2007

Phòng gd & đt
Đề thi khảo sát hsg lớp 7
Môn : Toán
Thời gian: 120phút (không kể thời gian giao đề)



Câu 1 (1,5 điểm)
So sánh các số sau: 2300 và 3200

Câu 2 (3,5 điểm)
Tìm các số a1, a2, a3,…,a100, biết
và a1+ a2 + a3+ ...+ a100 = 10100

Câu 3 (3,0 điểm)
Tính giá trị của đa thức sau, biết x + y – 2 = 0
M = x3 + x2y – 2x2 – xy - y2 + 3y + x + 2006

Câu 4 (2,0 điểm)
Cho hai hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 + (2m +1 )x + m2
Tìm m, biết P(1) = Q(- 1)

Câu 5 (8 điểm)
Cho tam giác giác nhọn ABC, AH là đường cao. Về phía ngoài của tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF, vuông ở B và C. Trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC. Chứng minh:
a) ABI = BEC
b) BI = CE và BI vuông góc với CE
c) Ba đường thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại một điểm.

Câu 6 (2 điểm)
Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương.


đáp án – biểu điểm

Câu
Đáp án
Điểm

1
2300 = (23)100 = 8100
3200 = (32)100 = 9100
Vì 8100 < 9100. Do đó 2300 <3200
0,5
0,5
0,5


2

áp dụng dãy tỷ số bằng nhau ta có:
- 1
= - 1 = 2 – 1 = 1
a1 = a2 =...= a100 = 101




1,5


1
1

3
P(1) = Q(-1), suy ra 1+2m +m2 =1 – (2m +1) +m2 m

2,0

4
Biến đổi mỗi đa thức theo hướng làm xuất hiện thừa số x + y – 2
M = (x3 + x2y – 2x) – (xy +y2 - 2y) + (x+y -2) + 1
= x2(x + y – 2) – y(x + y – 2) + (x + y – 2) +2008
=x2.0 – y.0 + 0 + 2008 = 2008
0,5
1,0
1,0
0,5

5


- Vẽ hình,ghi giả thiết kết luận đúng được
a) Ta có IAB = 1800 - BAH =1800 – (900 - ABC)
=900 + ABC EBC
ABI BEC (c – g – c)
b) ABI BEC (câu a) nên BI = EC (hai cạnh tương ứng).
ECB BIA hay ECB = BIH.
Gọi M là giao điểm của CE với AB, ta có :
MCB + MBC BIH + IBH = 900, do đó CEBI.
c) Trong tam giác BIC: AH, CF, BE là ba đường cao. Vậy AH, CF, BE đồng quy tại một điểm.
















1,0

2,5


3,5

1

6
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: n - 2, n- 1, n, n + 1,n +2, trong đó n N và n2
Ta có A = (n – 2)2 + (n – 1)2 + n2 + (n +1)2 + (n+2)2 = 5(n2 + 2)
Vì n2 khô