Đề & ĐA HSG Toán 7 năm 2000-2001

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG
TRƯỜNG THCS THANH PHONG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2010-2011. MÔN THI: TOÁN


Thời gian:120 phút (Không kể thời gian giao đề)



Bài 1: a) So sánh hợp lý:
và

b) Tính A =

c) Cho x, y, z là các số khác 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy.
Chứng minh rằng: x = y = z
Bài 2: Tìm x biết:
a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6
c)
d)

Bài 3: Tìm các số x, y, z biết :
a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0
b)
và x2 + y2 + z2 = 116
Bài 4: a) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y ; x1, x 2 là hai giá trị bất kì của x; y1, y2 là hai giá trị tương ứng của y.Tính y1, y2 biết y12+ y22 = 52 và x1=2 , x 2= 3.
b) Cho hàm số : f(x) = a.x2 + b.x + c với a, b, c, d (Z
Biết
. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3
c) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :

10
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:
a) BH = AI.
b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi.
c) Đường thẳng DN vuông góc với AC.
d) IM là phân giác của góc HIC.
--------------------------------------Hết--------------------------------
Đáp án Toán 7-THCS THANH PHONG
Bài 1: (1,5 điểm):
a) Cách 1:
=
>

Cách 2:
>
=



c) Vì x, y, z là các số khác 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy (
.
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau (

Bài 2: (1,5 điểm):
a) (2x-1)4 = 16.Tìm đúng x =1,5 ; x = -0,5 (0,25điểm)
b) (2x+1)4 = (2x+1)6. Tìm đúng x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5điểm)
c)




;




x = 25; x = - 31



: vô nghiệm
d)








Bài 3:
a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 +(x - z) 2100 = 0
(3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 0

3x - 5 = 0; y2 - 1 = 0 ; x - z = 0
x = z =
;y = -1;y = 1
b)
và x2 + y2 + z2 = 116
Từ giả thiết


Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = 8); (x = - 4; y = - 6; z = - 8)
Bài 4: a) Vì x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên:


Với y1= - 6 thì y2 = - 4 ;
Với y1 = 6 thì y2= 4 .
b) Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c


Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b)
vì ( 2; 3) = 1

Vậy a, b, c đều chia hết cho 3
c)
=

=
=
= 10(3n -2n-1)
Vậy

10 với mọi n là số nguyên dương.