Đề, ĐA Bdưỡng HSG Toán Lớp 6

Đề 1:
Bài 1 (3 điểm):
Tìm phân số lớn hơn nhỏ hơn và có mẫu số bằng 20.

Bài 2 (5 điểm):
Tìm các cặp số tự nhiên thảo mãn: Tổng của chúng bằng 240 và ước chung lớn nhất của chúng bằng 12.

Bài 3 (4 điểm):
Một người đã cắt từ một sợi dây dài mét lấy một đoạn dây dài 25 cm mà không phải dùng thước để đo. Hỏi người đó đã làm như thế nào.

Bài 4 (4 điểm):
Cho dãy số m+1, m+2, ... , m+10, với m là số tự nhiên.
Hãy tìm tất cả các số tự nhiên m để dãy số trên chứa nhiều số nguyên tố nhất.

Bài 5 (4 điểm):
Hội khoẻ Phù Đổng tỉnh Hà Nam lần thứ nhất có 495 vận động viên là học sinh trong toàn tỉnh về tham gia thi đấu các môn thể thao.
Chứng minh rằng ít nhất có 2 vận động viên có số người quen như nhau. (Người A quen người B thì người B cũng quen người A).
Hướng dẫn chấm thi
Bài 1: Gọi phân số phải tìm là a là số tự nhiên

80 < 17a < 120
5 < a < 7 => a = 6
Bài 2:
Gọi số phải tìm là a, b. Giả sử a ≤ b
ƯCLN (a,b) = 12 ta có a = 12a1 và b = 12b1
Trong đó ƯCLN (a1,b1) = 1
Ta có: a + b = 240 = 12 (a1 + b1)
a1 + b1 = 20
Kết hợp với ƯCLN (a1,b1) = 1 ta có:
a1
1
3
7
9

b1
19
17
13
11


Thay vào ta tính được:
a
12
36
84
108

b
228
204
156
132

 Kết luận:
Bài 3:
Nhận xét được:
Mà
Nhận xét được:
Nhận xét được chính là phép chia dôi sợi dây.
Nhận xét được 25 cm chính là 0,25 m = sợi dây.
Kết luận.
Bài 4:
+ m = 0 ta có dãy số: 1; 2; 3; 4; ... ; 10. Trong dãy này có 4 số nguyên tố.
+ m = 1 ta có dãy số: 2; 3; 4; ... ; 11. Trong dãy này có 5 số nguyên tố.
+ m = 2 ta có dãy số: 3; 4; 5; ... ; 12. Trong dãy này có 4 số nguyên tố.
+ m ≥ 3 trong dãy luôn chứa 5 số lẻ liên tiếp, các số lẻ này đều lớn hơn 3 nên phải có 1 số lẻ là bội của 3 do đó nó không là số nguyên tố. Vậy m ≥ 3 thì trong dãy có ít hơn 5 số nguyên tố.
Do đó m = 1là số phải tìm. Khi đó ta có 5 số nguyên tố.

Bài 5:
Giả sử có 1 người không quen ai trong số 495 vận động viên.
Như vậy 494 người còn lại có nhiều nhất là 493 người quen.
Ta chia thành nhóm số người quen:
Nhóm 0 người quen gồm những người có số người quen bằng 0
Nhóm 1 người quen gồm những người có số người quen bằng 1
..................
..................
Nhóm 493 người quen gồm những người có số người quen bằng 493
Như vậy ta có 494 nhóm (từ 0 đến 493) . Mà có 495 người