Dãy số

Một số cách xác định công thức tổng quát của một số dạng dãy số cơ bản
Kết quả 1:Dãy
có số hạng tổng quát là
Cm: Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp *n=1 ta thấy (1) đúng *Giả sử
ta cm
Thậy vậy:
đpcm Kết quả 2:Với dãy
được xác định bởi :
, biết
Ta xét phương trình đặc trưng:
(*) -Nếu (*) có hai nghiệm
thì:
-Nếu (*) có nghiệm kép
thì :
Kết quả 3: Với dãy
được xác định bởi :
, biết
Ta xét phương trình đặc trưng:
(**) -Nếu (**) có ba nghiệm
thì:
-Nếu (**) có 1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép
thì:
thì:
-Nếu (**) có nghiệm bội ba
thì:
Kết quả 4: Với dãy
được xác định:
Cách 1: Đưa vào tham số phụ
. Nhân vào pt thứ hai với
và cộng hai pt vào ta được Tiếp theo ta xác định
sao cho
.Nếu hai pt này có nghiệm khi đó ta có Từ đây chúng ta xác định được cttq của các dãy đã cho Cách 2: ta có:
ta dễ dạng tìm được cttq của dãy
theo kết quả 2 Kết quả 5:Với dãy số
:
với mọi n 1. Đối với dạng này ta có hai cách làm như sau: Cách 1: Xét hai dãy số
được xác định như sau:
;
Theo kết quả 4 ta xác định được dãy
và khi đó dãy
:
Cách 2:Ta đưa vào các tham số x,y như sau:
Tiếp theo ta xác định x,y sao cho:
. Khi đó ta có:
. Đặt
. Ta được
. theo kết quả 1 ta xác định được dãy
nên ta tìm được
Sau đây là các ví dụ: Ví dụ 1: Cho dãy
và
.Tìm số hạng tổng quát của dãy
Lời giải: Bài này chúng ta có thể giải theo các cách sau: Cách 1: Xét pt đặc trưng:
pt này có hai nghiệm
nên
. Vì
nên ta suy ra
. Vậy
Cách 2: Đặt
ta có
nên ta có
suy ra
lấy tổng hai vế ta có
Ví dụ 2: Cho dãy số
xác định bởi:
a)Tìm công thức tổng quát của dãy
b)Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố thì
chia hết cho p Lời giải : Xét pt đặc trưng:
pt này có ba nghiệm
nên
Theo gt
nên ta có hệ gồm ba pt sau:
giải hệ ba pt này ta có nghiệm
Vậy
b)Ta có 1 1 (mod p) Vì p là số nguyên tố nên theo định lí nhỏ Fecma ta có:
Suy ra
đpcm Ví dụ 3: Cho dãy
a) Tính
b) Tìm phần nguyên:
Lời giải: Ta có:

Đặt
. Ta có
Áp dụng kết quả 1 ta có:

a) Theo trên ta có:
b) Ta có: Mặt khác:
Ví dụ 4:Cho hai dãy
được xác định như sau:
. Tìm công thức tổng quát của hai dãy
Lời giải: Ta có:
. ta chọn
sao cho:
Do đó ta có hệ: Suy ra: Ví dụ 5: Cho dãy
với mọi n>=2. Cmr
Lời giải: Để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh
có
là được Dãy số đã cho gần giống với dạng ở kết quả 2, nhưng vì có hệ số tự do 1975 nên ta chưa áp dụng được kết quả 2.Chúng ta có thể chuyển về dạng ở kết quả 1 bằng cách đặt
. Khi đó
, đến đây ta chọn a,b sao cho 22a-8b=0, chọn a=4, b=11 Suy ra
Phương trình đặc trưng
có hai nghiệm x=-1 và x=-5 nên
dựa vào
ta xác định được
. Do đó
suy ra
Do 1997 là số nguyên tố nên theo định lí nhỏ Féc ma ta có:

(vì (4;1997)=1) đpcm Chú ý: Theo chứng minh ở trên ta có bài toán tổng quát hơn là :Cmr
với mọi số nguyên tố p Ví dụ 6: Cho hai dãy
được xác định như sau:
và
. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho :
không chia hết cho p Lời giải: Ta có:
Mặt khác: . Đặt Đặt
ta có:
. Áp dụng kết quả 1 ta có được . Thay vào (1) ta có:

*p=