Cực trị toán học(hay)

CHUYÊN ĐỀ: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Phương pháp giải.
a, Tìm giá trị nhỏ nhất:
Ví dụ 1. Tìm min của biểu thức: A= 2x
- 8x + 10.
Giải: Biểu thức A xác định với mọi x
R.
Ta có: A = 2x
- 8x + 10
= 2( x
- 4x + 5)
= 2

= 2(x – 2)2 + 2.
Do 2(x – 2)2
0 Với mọi x thuộc R, nên A
2. Min A = 2
x – 2 = 0
x = 2.
Kết luận: Min A = 2 khi x = 2.
Để tìm min của một biểu thức ta phải biến đổi biểu thức đó dưới dạng một biểu thức không âm cộng với một số.
b, Tìm giá trị lớn nhất:
Ví dụ 2. Tìm max của biểu thức sau: B = -5x2 – 4x +1.
Giải: B = -5x2 – 4x +1 = -5
= -5

Max B =
khi và chỉ khi x = -
.
Kết luận: Để tìm max của một biểu thức, ta đưa biểu thức đó về dưới dạng một số trừ đi một biểu thức không âm
Hệ thống bài tập:
A. Một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 3. Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: 3x + y = 1.
a, Tìm min của biểu thức: M = 3x2 + y2
b, Tìm max của: N = xy.
Hướng dẫn: a, Do 3x + y =1, nên y = 1 – 3x.
Thay y = 1 – 3x vào M, biến đổi về dạng như ví dụ 1, ta tìm được min M =
khi x = y =
.
b, N = x(1 – 3x) = - 3
= - 3
.
Suy ra N

.
Vậy max N =
khi x =

Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= |x –2004| + |x – 2005|.
Hướng dẫn:
Cách 1. Ta có: A= |x –2004| + |x – 2005|
= |x –2004| + |2005 – x|
| x – 2004 + 2005 –x| = 1.
Vậy min A = 1 khi ( x – 2004)(2005 – x)
0. Giải ra, ta được 2004
x
2005.
Cách 2. Xét ba khoảng sau:
Xét khoảng x < 2004, ta có A= 4009 – 2x, suy ra A > 1. (1)
Xét khoảng 2004
x
2005, ta có A = x – 2004 + 2005 – x = 1 (2)
Xét khoảng x > 2005, ta cóA= 2x – 4009, suy ra A > 1 (3)
Từ (1); (2) và (3)
Ta được min A = 1, với 2004
x
2005.

B. Bài tập luyện tập.
1. Tìm min của biểu thức: A = (x – 1)
+ (x – 3)
+6(x – 1)
(x – 3)
.
2. Cho biểu thức: M = -x
- y
+ xy + 2x + 2y.
Tìm cặp số (x ; y) để M đạt giá trị lớn nhất.
3. Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm min của biểu thức :
P =

4.Cho a ; b ; c là ba số dương khác nhau đôi một. Tìm min :
F =
trong đó x ; y là hai số dương có tổng bằng 1.
5. Cho a ; b ; c > 0. Tìm min của biểu thức :
a) P =

b) Q =

6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
R = a2 (b + c - a) + b2 (c + a – b) + c2 (a + b – c).
7.Cho a1 + a2 + ... + an = k. Tìm cực trị của biểu thức: A = a21 + a22 + ... + a2n
8.Tìm cực trị của biểu thức:
a)
; b)

9.Cho x; y; z
0 thỏa mãn điều kiện: x + y+ z = a.
Tím giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =

10.a) Cho các số dương a ; b ; c thỏa mãn a + b+ c = 1. Tìm min của biểu thức:
B =
.
b) Cho x ; y > 0 và x + y = 6. Tìm min của biểu thức : P =
.