Cong thuc toan hoc 7

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
A. Kiến thức cơ bản
1. Phương pháp qui nạp toán học
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ( N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được, ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắc là phương pháp quy nạp) như sau:
- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
- Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ( 1 bất kì
(gọi là giả thiết quy nạp)
- Bước 3: Chứng minh rằng nó cũng đúng vớii n = k + 1.
2. Các kiến thức cần nhớ:
* Cách viết số tự nhiên:
( Các số tự nhiên liên tiếp: n ; n + 1 ; n + 2 ; …
( Các số tự nhiên chẵn liên tiếp: 2n ; 2n + 2 ; n + 4 ; …
( Các số tự nhiên lẻ liên tiếp: 2n + 1 ; 2n + 3 ; n + 5 ; …
* Tính chất chia hết:
( Các số chẵn thí chia hết cho 2.
( Các số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
( Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
( Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
( Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
( Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì chia hết cho 25.
( Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.
( Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 thì chia hết cho 125.
( Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6.
( Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2.
( Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3 và 6.
( Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3, 4, 6, 8.
* Tính chất lũy thừa:
( am . an = am+n ( am:an = am – n
( (ab)n = an . bn ( (am)n = am.n
(
(

* Phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử:
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiện phân biệt x1, x2 thì:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

B. Bài tập
1. Chứng minh rằng: Với mọi n ( N*:
a) n5 – n
5 b) 62n + 3n+2 + 3n
11
c) 13n – 1
6 d) n3 + 2n
3
e) 3n + 2n – 1
4 f) 32n – 1
8
g) 32n-1 + 2n+1
7 h) 4.32n+2 + 32n – 36
64
i) 4n + 15n – 1
9 j) n3 + 11n
6
k) 16n – 15n – 1
225 l) n3 – n
3
m) n3 + 3n2 + 5n
3 n) 3n3 + 15
9
o) n7 – n
7 p) 2n3 – 3n2 + n
6
2. Chứng minh rằng: Với mọi n ( N*:
a) 1 + 2 + 3 + … + n =

b)

c)

d) 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2
e)

f)

g)

h) 3 + 9 + 27 + … + 3n =

i)

j) 2 + 5 + 8 + … + 3n– 1 =

k)

l) 1 – 2 + 3 – 4 + ( – 2n + (2n + 1) = n + 1
m)

n)

o)
với n ( 2
p)

q) 1.2 + 2.5 + 3.8 + … + n(3n – 1) = n2(n + 1)
r)

s) 1 + 3 + 6 + 10 + … +
=

3.