Con số của TK XXI với HSG lớp 6

Con số các năm của thế kỷ XXI có gì lạ
(Toán bồi dưỡng HSG lớp 6)

Theo qui ước, Thế kỷ XXI tính từ năm 2000 đến 2099. Xin giới thiệu mộ số bài toán số học liên quan đến các con số chỉ các năm của TK XXI.

I.- Bài toán:
Đề 1:
Hãy tính nhanh trong Thế kỷ XXI có bao nhiêu năm nhuận ? Tổng các số chỉ các năm nhuận đó là bao nhiêu ?
Đề 2:
Chứng tỏ rằng : Tích của các con số chỉ 5 năm liên tiếp trong TK XXI đều chia hết cho 150.
Đề 3:
Với 25 số lẻ liên tiếp số cuối cùng là 2099 thì số đầu tiên là số nào?

II.- Hướng dẫn giải

Đề 1
Ý thứ nhất chắc không khó
Ý thứ hai, áp dụng công thức tổng S của cấp số cộng có d = 4; U1 =2000; U n = 2096
Đề 2:
Trước hết chứng minh tích 5 số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho 30.

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp a, a+1, a+2, a+3, a+4 =>
Tích A= a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4) luôn chia hết cho 5 [*] Tích A cũng chia hết cho sáu vì a(a+1) chia hết cho 2 [1] a(a+1)(a+2)chia hết cho 3 [2] => tích A chia hết cho 2 &3 [**] từ [*] và [**] => tích A chia hết cho 30
Sau đó biêt a = 2000 chia hết cho 5 ; Vậy 5 số đó chia hết cho 150

Đề 3:

Với 25 số lẻ, số cuối cùng là 2099, thủ công nhất để tìm số đầu tiên là viết ngược trở lai 25 số, Nhưng như thế thì không phải HSG.
Áp dung công thức cấp số cộng d=2 sẽ tính ra số đầu tiên



III.- Bài thực hành
Cho

So sánh S với

Hướng dẫn gợi ý : đây là bài khó; Suy từ công thức sau:


Áp dụng vào bài toán với m ( {2; 2 , …., 2 }
và k ( { 2005, 2005 , …
} ta có: