Chuyen de toan

Chuyên đề 1 : Toán chia hết trên
tập hợp số nguyên Z .
I . Một số kiến thức cơ bản
1 . Định lí về phép chia hết :
- Nếu có 2 số nguyên a và b ( b = 0 )và tồn tại số q sao cho : a = b . q thì ta nói a chia hết -cho b và kí hiệu a : b .
+ ) Nếu a chia hết cho m thì a.k chia hết cho m ( k thuộc z ; a , m thuộc z , m khác 0 )
+ ) Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c
+ ) Nếu a.b chia hết cho c và ( a ; c ) = 1 thì b chia hết cho c
+ ) Nếu một tổng mà có tất cả các số hạng đều chia hết cho m thì cả tổng đó chia hết cho m ( m khác 0 )
+ ) Tích của 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2
+ ) Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3
) Tổng quát : Tích của n số nguyên liên tiếp thì chia hết cho n
+ ) Tích của 2 số nguyên chẵn liên tiếp chia hết cho 8
II.Bài tập :
1.Chứng minh rằng : A = n^2 + 5.n chia hết cho 2 với mọi n thuộc z .
Bài giải :
Cách 1 :
Ta có : A = n^2 + 5.n = n.(n+5) chia hết cho 2
Xét n chẵn : n = 2.k ( k thuộc z )
A = 2.k.(2.k + 5) chia hết cho 2 (1)
Xét n lẻ : n = 2.k + 1 ( k thuộc z )
->A = (2.k + 1).(2.k+1+5)
= (2.k+1).(2.k+6) chia hết cho 2 (2)
Từ (1) và (2) -> n.(n+5) chia hết cho 2
=>n^2+5.n chia hết cho 2
(ĐPCM)
Cách 2 :
Ta có : A=n^2+5.n=n^2–n+6.n=n.(n-1)+6.n
Dễ thấy : ( n-1).n là tích cuả 2 số nguyên liên tiếp mà 6.n chia hết cho 2
=>n.(n-1)+6.n chia hết cho 2.
2.Chứng minh rằng : B=n^3-n+18 chia hết cho 3 với mọi n .
Bài giải :
Ta có : B=n^3-n+18
=n.(n^2-1)+18 =n.(n^2+n-n-1)+18
=n.[n.(n+1)-(n+1)]+18
=n.(n+1).(n-1)+18
Nhận thấy : n.(n+1).(n-1) chia hết cho 3 mà 18 chia hết cho 3 =>n.(n+1).(n-1) chia hết cho 3
3.Chứng minh rằng : P=m.n.(m^2-n^2) chia hết cho 6 với mọi m , n thuộc Z .
Bài giải : Ta có : P=m.n.(m^2 – n^2)
=m.n.[(m^2-1)-(n^2-1)]
=m.n.(m^2-1)-m.n.(m^2-1)
=m.n.(m-1).(m+1)
-m.n.(n-1).(n+1)
Dễ thấy : Với mọi m,n thuộc Z thì m.n.(m-1).(m+1) và m.n.(n-1).(n+1)là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên nó vừa chia hết cho 2 và 3 .
Mà (2;3)=1=>m.(m-1).(m+1) và n.(n-1).(m+1) chia hết cho 6 =>P chia hết cho 6 ( ĐPCM ).
Bài 4 : Chứng minh rằng :Với mọi a,b,c thuộc Z thì a+b+c chia hết cho 6 thì a^3+b^3+c^3 chia hết cho 6.
Bài giải :
Ta có