Chuyên đề: Số chính phương

Ngày soạn: 27/01/2008 TUẦN 21 Ngày dạy: 31/01/2008
Chủ đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Tiết 5, 6: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
I/ MỤC TIÊU:
1/ Kiến thức: Ôn tập cho học sinh về số chính phương và một số tính chất có liên quan cũng như một số phương pháp giải toán dựa vào số chính phương.
2/ Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng áp dụng tính chất để nhận biết số chính phương và giảimột số dạng toán có liên quan.
3/ Thái độ: Giáo dục học sinh tính chính xác và vận dụng vào thực tế.

II/ LÝ THUYẾT: (Tiết trước)
1/ Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.
2/ Một số tính chất của số chính phương:
3/ Nhận biết một số chính phương:
4/ Hằng đẳng thức vận dụng:
(a
b)2 = a2
2ab + b2 và a2 - b2 = (a + b)(a - b)
III/ BÀI TẬP:

BÀI TẬP
BÀI GIẢI

Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết rằng trong 3 mệnh đề sau có 2 mệnh đề đúng và một mệnh đề sai:
1/ n có chữ số tận cùng là 2
2/ n + 20 là một số chính phương
3/ n - 69 là một số chính phương
Nếu mệnh đề (1) đúng thì từ (2) suy ra n + 20 có số tận cùng là 2; Từ mệnh đề (3) suy ra n - 69 có chữ số tận cùng là 3. Một số chính phương không có chữ số tận cùng là 2 hoặc 3. Như vậy nếu (1) đúng thì (2) và (3) đều sai, trái giã thiết. Vậy mệnh đề (1) sai và mệnh đề (2) và (3) đúng.
Đặt n + 20 = a2; n - 69 = b2 (a, b
N và a > b)
=> a2 - b2 = 89 => (a + b)(a - b) = 89.1
Do đó:
suy ra a = 45. Vậy n = 452 - 20 = 2005

Bài 2: Cho N là tổng của 2 số chính phương. Chứng minh rằng:
a/ 2N cũng là tổng của 2 số chính phương.
b/ N2 cũng là tổng của 2 số chính phương.
Gọi N = a2 + b2 (a, b
N)
a/ 2N = 2a2 + 2b2 = a2 + b2 + 2ab + a2 + b2 - 2ab
= (a + b)2 + (a - b)2 là tổng của 2 số chính phương.
b/ N2 = (a2 + b2)2 = a4 + 2a2b2 + b2 = a4 - 2a2b2 + b2+ 4a2b2
= (a2 - b2)2 + (2ab)2

Bài 3: Cho A, B, C, D là các số chính phương. Chứng minh rằng:(A + B)(C + D) là tổng của 2 số chính phương.
Theo bài toán thì: A = a2; B = b2; C = c2; D = d2;
Nên: (A + B)(C + D) = (a2 + b2)(c2 + d2) =
= a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = a2c2 + b2d2 + 2abcd - 2abcd + a2d2 + b2c2 = (ac + bd)2 + (ad - bc) là tổng của 2 số chính phương.

Bài 4: Cho 3 số nguyên x, y, z sao cho: x = y + z. Chứng minh rằng: 2(xy + xz - yz) là tổng của 3 số chính phương.
Vì x = y + z => x - y - z = 0 => (x - y - z)2 = 0
=> x2 + y2 + z2 - 2xy - 2xz + 2yz = 0
=> 2(xy + xz - yz) = x2 + y2 + z2

Bài 5: Cho a, b, c, d là các số nguyên thoả mãn: a - b = c + d. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 luôn là tổng của 3 số chính phương.
Từ a - b = c + d => a - b - c - d = 0
=> 2a(a - b - c - d) = 0
Nên ta suy ra:
a2 + b2 + c2 + d2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2a(a - b - c - d)
= (a - b)2 + (a - c)2 + (a - d)2

Bài 6: Cho 2 số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của 2 số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.
 Ta có: n2 + (n + 1)2 + n2(n + 1)2 = n4 + 2n3 + 3n2 + 2n + 1 =
= (n2 + n + 1)2
n2 + n là một số chẵn n2 + n + 1 là một số lẻ.
Suy ra (n2 + n + 1)2 là một số chính phương lẻ.

Bài 7: Cho an = 1 + 2 + 3 + ... + n
a/ Tính an+1
b/ Chứng minh rằng an + an+1 là một số chính phương
a/ Từ bài toán ta suy ra: an+1 = 1 + 2 + 3 + ... + (n + 1)
b/ an + an+1 =
+
=
=
= (n + 1)2


IV/ RÚT KINH NGHIỆM BỔ SUNG: