Chuyên đề: Số chính phương

Ngày soạn: 12/02/2008 TUẦN 22 Ngày dạy: 14/02/2008
Chủ đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Tiết 7, 8: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
I/ MỤC TIÊU:
1/ Kiến thức: Ôn tập cho học sinh về số chính phương và một số tính chất có liên quan cũng như một số phương pháp giải toán dựa vào số chính phương.
2/ Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng áp dụng tính chất để nhận biết số chính phương và giải một số dạng toán có liên quan.
3/ Thái độ: Giáo dục học sinh tính chính xác và vận dụng vào thực tế.

II/ LÝ THUYẾT: (Tiết trước)
1/ Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.
2/ Một số tính chất của số chính phương:
3/ Nhận biết một số chính phương:
4/ Hằng đẳng thức vận dụng:
(a
b)2 = a2
2ab + b2 và a2 - b2 = (a + b)(a - b)
III/ BÀI TẬP:

BÀI TẬP
BÀI GIẢI

Bài 1: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.
Gọi số phải tìm là

(với a, b, c, d nguyên; và 1
a
9; 0
b, c, d
9)

là số chính phương => d = 0; 1; 4; 5; 6; 9
d nguyên tố => d = 5
Đặt
= k2 < 10000 => 32
k
100
k là một số có 2 chữ số mà d = 5 nên k cũng có chữ số tận cùng là 5. Tổng các chữ số của k là một số chính phương; nên k = 45; và
= 2025. Vậy số phải tìm là 2025

Bài 2: Tìm một số chính phương có 4 chữ số mà 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau
Số phải tìm có dạng
với a, b
N và 1
a
9; 0
b
9
=>
= k2, k
N; 32
k < 100
=> 11(100a + b) = k2. Do đó: k2
11 => k = 11t
=> 100a + b = 11t2; với 3
t
9 (1)
=> a + b
11 (2)
Với a, b
N; 1
a
9; 0
b
9, ta có: 1
a + b
18 (3)
Từ (2) và (3) => a + b = 11; Nên từ (1) => 9a + 1 = t2
<=> t2 - 1 = 9a (4)
=> t2 - 1
9 => (t - 1)(t + 1)
3
Vì (t + 1) - (t - 1) = 2 nên t + 1 và t - 1 không đồng thời chia hết cho 3
a/ Nếu t + 1
3 thì (4) => t + 1
9, mà 3
t
9 => t + 1 = 9
=> t = 8 => a = 7 => b = 4. Suy ra
= 7744
b/ Nếu t - 1
3 thì (4) => t - 1
9; (loại)

Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số sao cho 3 chữ số đầu hoặc cuối giống nhau.
1/ Giả sử
là một số chính phương
Nếu chữ số hàng đơn vị là số lẻ thì chữ số hàng chục là số chẵn, do đó b không thể lẻ. Mặt khác
chính phương thì b chỉ có thể là 0; 1; 4; 5; 6; 9. Do đó b = 0, 4, 6
Nếu b = 0 =>
không chính phương
Nếu b = 4 =>
chính phương khi a = 1
Nếu b = 6 =>
không chính phương
Do đó ta có số 1444 là số chính phương.
2/ Không có số chính phương nào có dạng


Bài 4: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số, biết rằng số có 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau 1 đơn vị.
Đặt
= k2, ta có
-
= 1; và k
N, 32
k < 100
Suy ra: 101
= k2 - 100 = (k + 10)(k - 10)
=> (k + 10)
101 hoặc k - 10
101
Mà (k - 10, 101) = 1 => (k + 10)
101 và 42
k + 10 < 110
Do đó:
=>
= 81; k = 91
Vậy
= 8281 = 912. Số phải tìm là số 8281

Bài 5: Tìm một số chính phương có 3 chữ số và chia hết cho 56
Gọi số phải tìm là
với a, b, c
N và 1
a
9; 0
b, c
9. Theo giả thiết ta có:
=> k2 = 56l = 1.14l
=> l = 14q2; q
N (1)
Mặt khác ta lại có: 100
56l
999 => 2
l
17 (2)
Từ (1) và (2), ta có: q = 1 => l = 14
Vậy số chính phương phải tìm là 784

Bài 6: Cho 1 số tự nhiên n sao cho 2n = a2 + b2. Chứng tỏ a và b cùng tính chất n cũng là tổng của 2 số chính phương.
Từ 2n = a2 + b2 => a2 + b2
2 => a2 và b2 cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Hay a và b cùng tính chất chẵn lẻ.
Suy ra a + b và a - b đều chẵn ( giả sử a > b > 0)
Đặt a + b = 2x và a - b = 2y; với x, y
Z
Suy ra a = x + y và b = x - y
Do đó 2n = 2(x2 + y2). Vậy n = x2 + y2

Bài 7: Tìm những số tự nhiên A sao cho A chia cho 359 thì có số dư bằng số thương. Có số A nào là số chính phương nhỏ nhất không? Có bao nhiêu số A chính phương?
Đặt A = 359.q + r (q, r
N; q = r < 359)
Vì q = r nên A = 360.q
* A
35 => 360q
35 => q
7. Vì A nhỏ nhất nên q = 7.
Ta có A = 2520
* A = n2 (n
N) => 360q = n2 => q = 10m2 (n
Z)
=> q = 10 (A nhỏ nhất). Ta có A = 3600
* A = 360q = e2 => q = 10t2 (t, e
N).
Suy ra có 5 số như vậy (vì q < 359): 3600; 14400; 32400; 57600; 90000


IV/ RÚT KINH NGHIỆM BỔ SUNG: