CHUYÊN ĐỀ PHÉP CHIA ĐA THƯC

CHUYÊN ĐỀ PHÉP CHIA HẾT PHÉP CHIA CÓ DƯ TRÊN TẬP Z

A. LÝ THUYẾT
1. Bảy HĐT.
2. an - bn = (a - b)(an - 1 + an - 2 b + an - 3 b2 + … + abn - 2 + bn - 1 ) với mọi n. ( Tổng quát của HĐT hiệu 2 bp, hiệu 2 lập phương).
3. an + bn = (a + b) ( an - 1 - an - 2b + an - 3b2 - … - abn - 2 + bn - 1 ) với n: lẻ ( Tổng quát của HĐT tổng 2 lập phương)
4. an – bn = (a+b) ( an - 1 - an - 2b + an - 3b2 - … + abn - 2 - bn - 1 ) với n: chẳn.
5. (a + b)n =
Dùng tam giác Patxcan (Blaise Pascal ( 1623 – 1662) – Nhà toán học và vật lý học Pháp).







1







n = 1





1

1






n = 1




1

2

1





n = 3



1

3

3

1




n = 4


1

4

6

4

1



n = 5

1

5

10

10

5

1


n = 6
1

6

15

20

15

6

1

Với n = 4 thì:(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Với n = 5 thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Với n = 6 thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6
6. Vận dụng vào bài toán chứng minh chia hết:
- Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có một nhân tử là m hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho các số đó.
- Chú ý:
+ Với k số nguyên liên tiếp bao giờ củng tồn tại một bội của k
+ Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho m
+ Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n thì:






B. BÀI TẬP
Bài 1: Chứng minh
1) 1110 -1
100 2) 16n – 1
17 n: lẻ 3) 9.10n +18
27 4) 16n -15n-1
225
5) Với n là số tự nhiên chẳn . Chứng minh: 20n+16n-3n – 1
323
6) 11n+2 +122n+1
133 7)
+7
7 với n >1
Bài 2: Chứng minh
1) 5n+2 +26.5n+82n+1
59 2) 7.52n +12.6n
19 3) 9.10n+18
27 4) 92n+14
5
5) 1n+3n+5n+7n
8 với n lẻ 6) 62n+19n - 2n+1
17 7) 62n+1+5n+2
3 8) 34n+1+32n.10-13
64
9) 16n -15n -1
225 10) 33n+3 – 26n -27
169 11) 106n-4 + 10 6n-5 + 1
111 với n ≥ 1
12) 4.32n+2+32n -36
64 13) 62n + 3n+2 +3n
11 14) 72n – 48n -1
482 với n nguyên dương.
Bài 3: Chứng minh rằng
a) n5 - n chia hết cho 30 với n ( N ;
b) n4 -10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n( Z
c) 10n+18n -28 chia hết cho 27 với n( N ;
Giải:
a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho 6 vì
(n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*)
Mặt khác n5 - n