CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC LỚP 3

CHUYỀN ĐỀ HÌNH HỌC

I. Bài toán về nhận dạng các hình hình học.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, trên cạnh BC ta lấy 4 điểm D, E, M, N. Nối đỉnh A với 4 điểm vừa lấy. Hỏi đếm được bao nhiêu tam giác trên hình vẽ?










Cách 1. (Phương pháp liệt kê)
Có 5 tam giác chung cạnh AB là ABD, ABE, ABM, ABN, ABC.
- Có 4 tam giác chung cạnh AD là: ADE, ADM, AND, ADC.
- Có 3 tam giác chung cạnh AE là: AEM, AEN, AEC.
- Có 2 tam giác chung cạnh AM là: AMN, AMC.
- Có 1 tam giác chung cạnh AN là: ANC.
(Các tam giác đếm rồi ta không đếm lại nữa).
Vậy số tam giác ta đếm được trên hình vẽ là:
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 (tam giác).
Cách 2. (Phương pháp lắp ghép)
- Có 5 tam giác đơn: (1), (2), (3), (4), (5).
- Có 4 tam giác ghép đôi: (1) + (2), (2) + (3), (3) + (4), (4) + (5).
- Có 3 tam giác ghép 3 là: (1) +(2) +(3), (2) +(3) +(4), (3) +(4) +(5).
- Có 2 tam giác ghép 4 là: (1) + (2) + (3) +(4), (2) + (3) + (4) + (5).
- Có 1 tam gíac ghép 5 là: (1) + (2) + (3) + (4) + (5).
Vậy số tam giác đếm được là:
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 (tam giác)
Cách 3:
Ta nhận xét:
Nối 2 đầu mút của mỗi đoạn thẳng tạo thành trên cạnh đáy BC với đỉnh A ta được một tam giác. Vậy số tam giác đếm được trên hình vẽ bằng số đoạn thẳng trên cạnh đáy BC. Trên cạnh đáy BC có tất cả 6 điểm B, C, D, E, M và N.
Áp dụng kết quả trong ví dụ 1 (phương pháp quy nạp) ta có số đọan thẳng đếm được là:
6 x (6 – 1) : 2 = 15 (đoạn thẳng).
Vậy ta đếm được 15 tam giác trên hình vẽ.
Ta nhận xét:
Nối 2 đầu mút của mỗi đoạn thẳng tạo thành trên cạnh đáy BC với đỉnh A ta được một tam giác. Vậy số tam giác đếm được trên hình vẽ bằng số đoạn thẳng trên cạnh đáy BC. Trên cạnh đáy BC có tất cả 6 điểm B, C, D, E, M và N.
Áp dụng kết quả trong ví dụ 1 (phương pháp quy nạp) ta có số đọan thẳng đếm được là:
6 x (6 – 1) : 2 = 15 (đoạn thẳng).
Vậy ta đếm được 15 tam giác trên hình vẽ.

Cách 4. (Phương pháp quy nạp)
Ta nhận xét:
* Nếu trên cạnh BC, lấy 1 điểm và nối với điểm A thì ta đếm được:
- Có 2 tam giác đơn là: (1), (2).
- Có 1 tam giác ghép đôi là: (1) + (2).
Tổng số tam giác đếm được là:
2 + 1 = 3 (tam giác)




* Nếu trên BC, ta lấy 2 điểm và nối với đỉnh A thì ta đếm được:
- Có 3 tam giác đơn là: (1), (2), (3).
- Có 2 tam giác ghép đôi là: (1) +(2), (2) +(3).
- Có 1 tam giác ghép 3 là: (1) + (2) + (3).
Tổng số tam giác đếm được là:
3 + 2 + 1 = 6 (tam giác)

Vậy quy luật ở đây là: Nếu trên cạnh đáy BC ta lấy n điểm và nối chúng với đỉnh A thì ta sẽ đếm được (n + 1) tam giác đơn và số tam giác đếm được là:
1 + 2 + 3 +…+ (n + 1) = (n + 2) x (n +1) : 2 (tam giác)
Áp dụng:
Trên cạnh đáy BC lấy 4 điểm thì số tam giác đơn đếm được là 5 và số tam giác đếm được là:
(4 + 2) x (4 + 1) : 2 = 15 (tam giác)
Ví dụ 2. Cần ít nhất bao nhiêu