Chuyên đề hay về Toán lớp 6

MỘT VÀI CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
Bài 1
:
CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Trong chương trình Toán lớp 6, các em đã được học về các bài toán liên quan tới phép chia hết của một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác 0 và đặc biệt là đượcgiới thiệu về số chính phương, đó là số tự nhiên bằng bình phương của một số tựnhiên (chẳng hạn : 0 ; 1 ; 4 ; 9 ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; …).Kết hợp các kiến thức trên, các em có thể giải quyết bài toán : Chứng minh một sốkhông phải là số chính phương. Đây cũng là một cách củng cố các kiến thức màcác em đã được học. Những bài toán này sẽ làm tăng thêm lòng say mê môn toán cho các em.
1. Nhìn chữ số tận cùng
Vì số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên có thể thấy ngay
số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9.
Từ đó các em có thể giải được bài toán kiểu sau đây
Bài toán 1 :
Chứng minh số : n = 20042+20032+20022-20012
không phải là số chính phương.
Lời giải :
Dễ dàng thấy chữ số tận cùng của các số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012lần lượt là 6 ; 9 ; 4 ; 1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là sốchính phương.
Chú ý :
Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ;6 ; 9 nhưng vẫn không phải là số chính phương. Khi đó các bạn phải lưu ý thêmmột chút nữa :
Nếu số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì phải chia hết cho p2
Bài toán 2 :
Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương.
Lời giải :
Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0)nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90). Do đó số 1234567890không phải là số chính phương.
 
Chú ý :
Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng là 0), nhưngkhông chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90) nên 1234567890 không là sốchính phương.
Bài toán 3 :
 
Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương.
Lời giải : Ta thấy tổng các chữ số của số 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 màkhông chia hết 9 nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà khôngchia hết cho 9, do đó số này không phải là số chính phương.
2. Dùng tính chất của số dư 
Chẳng hạn các em gặp bài toán sau đây :
Bài toán 4 :
Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là sốchính phương.Chắc chắn các em sẽ dễ bị “choáng”. Vậy ở bài toán này ta sẽ phải nghĩ tới điều gì? Vì cho giả thiết về tổng các chữ số nên chắc chắn các em phải nghĩ tới phép chia cho 3 hoặc cho 9. Nhưng lại không gặp điều “kì diệu” như bài toán 3. Thế thì ta nói được điều gì về số này ? Chắc chắn số này chia cho 3 phải dư 2. Từ đó ta có lời giải.
Lời giải :
Vì
số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1
mà thôi (coi như bài tập để các em tự chứng minh !). Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chiacho 3 dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải là số chính phương.
Tương tự các em có thể tự giải quyết được 2 bài toán :
Bài toán 5 :
Chứng minh tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không phảilà số chính phương.
 
Xét 1995 số có dạng : 1994 ; 19941994 ; ... ; . Nếu một trong các số trên chia hết cho 1995 thì dễ dàng có đpcm. Nếu các số trên đều không chia hết cho 1995 thì khi chia từng số cho 1995 sẽ chỉcó 1994 khả năng dư là 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 1994.Vì có 1995 số dư mà chỉ có 1994 khả năng dư, theo nguyên lí Đi-rích-lê tồn tại ítnhất 2 số khi chia cho 1995 có cùng số dư, hiệu của chúng chia hết cho 1995. Giảsử hai số đó là :Khi đó : = 1994...199400...0 chia hết cho 1995 (đpcm).
Bài toán 3 :
Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho (1999^k - 1) chia hếtcho104.
Lời giải :
Xét 104 + 1 số có dạng : 19991 ; 19992 ; ... ; 1999104 + 1.Lập