Chuyen de BD HSG PP giai toan chia het

các phương pháp giải bài toán chia hết

Phần I: Tóm tắt lý thuyết
I. Định nghĩa phép chia
Cho 2 số nguyên a và b trong đó b ( 0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao cho:
a = bq + r Với 0 ( r ( (b(
Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư.
Khi a chia cho b có thể xẩy ra ( b( số dư
r ( {0; 1; 2; …; ( b(}
Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a.
Ký hiệu: a(b hay b a
Vậy: a ( b ( Có số nguyên q sao cho a = bq

II. Các tính chất
Với ( a ( 0 ( a ( a
Nếu a ( b và b ( c ( a ( c
Với ( a ( 0 ( 0 ( a
Nếu a, b > 0 và a ( b ; b ( a ( a = b
Nếu a ( b và c bất kỳ ( ac ( b
Nếu a ( b ( ((a) ( ((b)
Với ( a ( a ( ((1)
Nếu a ( b và c ( b ( a ( c ( b
Nếu a ( b và c(b ( a ( c ( b
Nếu a + b ( c và a ( c ( b ( c
Nếu a ( b và n > 0 ( an ( bn
Nếu ac ( b và (a, b) =1 ( c ( b
Nếu a ( b, c ( b và m, n bất kỳ am + cn ( b
Nếu a ( b và c ( d ( ac ( bd
Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!

III. Một số dấu hiệu chia hết Gọi N =
1. Dấu hiệu chia hết cho 2:
Một số chia hết cho 2chữ số tận cùng của nó là chữ số chẵn.
N ( 2 ( a0 ( 2 ( a0({0; 2; 4; 6; 8}
2. Dấu hiệu chia hết cho 5:
Một số chia hết cho 5 chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5.
N ( 5 ( a0 ( 5 ( a0({0; 5}
3. Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25:
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25số tạo bởi 2 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 4 hoặc 25.
N ( 4 (hoặc 25) ( 4 (hoặc 25)
4. Dấu hiệu chia hết cho 8 và 125:
Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) số tạo bởi 3 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8 hoặc 125.
N ( 8 (hoặc 125) ( 8 (hoặc 125)
5. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9:
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9).
N ( 3 (hoặc 9) ( a0+a1+…+an ( 3 (hoặc 9)
* Chú ý: một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu.
6. Dấu hiệu chia hết cho 11:
Một số chia hết cho 11 hiệu giữa tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn tính từ trái sang phải chia hết cho
N ( 11 ( [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)] ( 11
7. Một số dấu hiệu khác:
N ( 101 ( - 101
N ( 7 (hoặc 13) ( + - + (11 (hoặc 13)
N ( 37 ( + ( 37
N ( 19 ( ( a0+2an-1+22an-2+…+ 2na0) ( 19

IV. Đồng dư thức
a. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương. Nếu hai số nguyên a và b cho cùng số dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m.
Ký hiệu: a ( b (modun)
Vậy: a ( b (modun) ( a - b ( m