Chuyen

Chuyên đề: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ - ĐA THỨC
Trong chương trình sách giáo khoa:
Toán 7- tập 2 :
1. Biểu thức đại số:
- Khái niệm biểu thức đại số.
- Giá trị của một biểu thức đại số
2. Đơn thức:
- Định nghĩa đơn thức
- Đơn thức đồng dạng
3. Đa thức :
- Định nghĩa đa thức
- Cộng trừ đa thức
- Đa thức một biến
- Cộng trừ đa thức một biến
- Nghiệm của đa thức một biến
Toán 8 - tập 1
1. Phép nhân và phép chia các đa thức:
- Nhân đơn thức với đa thức
- Nhân đa thức với đa thức
- Chia đơn thức cho đơn thức
- Chia đa thức cho đơn thức
2. Những hằng đẳng thức đáng nhớ
3. Phân tích đa thức thành nhân tử.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Khái niệm biểu thức đại số:
1. Khái niệm biểu thức đại số
Những biểu thức mà trong đó ngoài các số, các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa, còn có các chữ( đại diện cho các số). Người ta gọi những biểu thức như vậy là biểu thức đại số.
Ví dụ: Các biểu thức: 4x ; 2.(5 + a) ; 3.(x+ y) ; ; ; ; ; là các biểu thức đại số.
2. Giá trị của một biểu thức đại số:
Để tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay các giá trị cho trước vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính.
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức tại x= -1 và tại x=
Thay x=1 vào biểu thức trên ta có:
Vậy giá trị của biểu thức tại x= -1 là 9.
Thay x= vào biểu thức trên ta có:

Vậy giá trị của biểu thức tại x= là
II Đơn thức
1. Định nghĩa đơn thức:
Khái niệm:
Đơn thức là những biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc tích giữa các số và các biến.
Ví dụ: Các biểu thức 9; ;x ; y ; là những đơn thức.
- Chú ý: Số 0 được gọi là đơn thức không.
Đơn thức thu gọn
Định nghĩa: Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến,mà mỗi biến đã được nâng lên luỹ thừa với số mũ nguyên dương.
Ví dụ: - Các đơn thức: x ; -y ; là những đơn thức thu gọn.
- Các đơn thức : xyx ; không phải là đơn thức thu gọn.
Bậc của một đơn thức
Định nghĩa: Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó.
Số thực khác 0 là đơn thức bậc không.
Số 0 được coi là đơn thức không có bậc.
Ví dụ: Trong đơn thức, biến x có số mũ là 5; biến y có số mũ là 3; biến z có số mũ là 1.
Vậy bậc của đa thức đã cho là:5+ 3+ 1 = 9.
Nhân hai đơn thức
Quy tắc: Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau.
Ví dụ: Để nhân hai đơn thức và , ta làm như sau:

2. Đơn thức đồng dạng
Định nghĩa:
Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.
Ví dụ: ; ; là những đơn thức đồng dạng.
Chú ý: Các số khác 0 được coi là những đơn thức đồng dạng
Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng
Quy tắc: Để cộng( hay trừ các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.
Ví dụ: - Để cộng hai đơn thức và , ta làm như sau:

- Để trừ hai đơn thức và ta làm như sau:
III. Đa thức:
1.Định nghĩa đa thức:
Khái niệm:
Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi một hạng tử của đa thức đó.
Ví dụ: Đa thức có các hạng tử là:


Thu gọn đa thức:
Là công việc cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng trong một đa thức.
Ví dụ: Thu gọn đa thức N=

Ta có: N= =
Bậc của đa thức
Định nghĩa: Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.
Chú ý:
- Số 0 cũng được coi là đa thức không và nó không có bậc.
-Khi tìm bậc của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức đó.
Ví dụ: Trong đa thức . Hạng tử có bậc 7, hạng tử có bậc 5, có bậc 6, 1 có bậc không. Bậc cao nhất trong các bậc đó là 7. Vậy bậc của đa thức đã cho là bậc 7
2.Cộng, trừ đa thức
Cộng hai đa thức:
Quy tắc: Để cộng hai đa thức ta có thể lần lượt thực hiện các bước sau:
- Bước 1 : Viết liên tiếp các số hạng của hai đa thức đó cùng với dấu của chúng.
- Bước 2: Thu gọn các số hạng đồng dạng (nếu có)
Ví dụ: Cho M=
N
Tính M + N.

LG: M + N
Trừ hai đa thức:
Quy tắc:
- Bước 1: Viết các số hạng của đa thức thứ nhất cùng với dấu của chúng
- Bước 2: Viết tiếp các số hạng của đa thức thứ hai với dấu ngược lại
- Bước 3: Thu gọn các số hạng đồng dạng (nếu có)
Ví dụ:
Cho hai đa thức:
P

Và Q
LG: P - Q
Chú ý: Khi bỏ dấu ngoặc đằng trước có dấu “ -“ phải đổi dấu
tất cả các hạng tử trong ngoặc.
3.Đa thức một biến:
Định nghĩa: Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến.
Ví dụ: A= là đa thức của biến y
B= là đa thức của biến y.
Nghiệm của đa thức một biến:
Định nghĩa: Nêú tại x=a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x=a) là một nghiệm của đa thức
Ví dụ: là nghiệm của đa thức P(x) = 2x +1 vì

P( ) = =0
IV. Phép nhân và phép chia các đa thức
Nhân đơn thức với đa thức
Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại với nhau:
A(B + C) = AB + AC
Ví dụ: Làm tính nhân:

Ta có:

2) Nhân đa thức với đa thức
Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại với nhau:
(A + B)(C + D) = AC + AD +BC +BD
Ví dụ:


3) Những hằng đẳng thức đáng nhớ


Một số hằng đẳng thức mở rộng
(với n N, n lẻ)

4)Phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành tích của những đơn thức và đa thức.
Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta dùng các phương pháp :
- Đặt nhân tử chung
- Dùng các hằng đẳng thức đang nhớ
- Nhóm các hạng tử
- Phối hợp các phương pháp trên

5) Chia đơn thức cho đơn thức
Quy tắc: Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B( trường hợp A chia hết B) ta làm như sau:
- Bước 1: Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
- Bước 2: Chia luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừacủa cùng biến đó trong B.
- Bước 3: Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
Ví dụ: Làm tính chia
Ta có:
15 : 5 = 3.


Vậy thương của phép chia đã cho là: 3x
6) Chia đa thức cho đơn thc
Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B( trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.
Ví dụ: Thực hiện phép chia sau
7) Chia đa thức một biến đã sắp xếp
Đa thức A(x) theo biến x gọi là đã sắp xếp khi ta viết A(x) theo số mũ giảm dần của x.
Đa thức A(x) gọi là chia hết cho đa thức B(x) khi tìm được một đa thức Q(x) sao cho: A(x) = B(x) . Q(x)
A(x) : Đa thức bị chia
B(x) : Đa thức chia
Q(x) : Đa thức thương
Có thể có trường hợp A(x) không chia hết cho B(x), ta nói A(x) chia cho B(x) có dư: A(x) = B(x). Q(x) + R(x).( R(x): Đa thức dư)
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ - ĐA THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN THCS
I. Biểu thức đại số:
Loại 1: Viết các biểu thức đại số theo yêu cầu
Phương pháp:
1) Xác định phần biến và hệ số của các biểu thức
2) Viết biểu thức theo yêu cầu
Ví dụ: (BT 147 - T129 - Sách 400 bài tập toán 7)
Viết các biểu thức đại số sau:
a) Tổng các bình phương của ba số hữu tỉ a, b, c
b) Tổng các nghịch đảo của ba số hữu tỉ x, y, z
c) Tỉ số giữa hiệu của 2 với tích x, y với tổng x, y, z
LG:
a) Bước 1: Xác định phần biến và hệ số của biểu thức
+ Phần biến của biểu thức này là: a, b, c
+ Phần hệ số của cả ba biến này là: 1
Bước 2: Viết biểu thức theo yêu cầu

Tương tự các bước xác định trên ta được kết quả là các biểu thức:
b) (x, y, z 0)

c)
Loại 2: Phân loại các biểu thức đại số
Phương pháp:
Nắm chắc kiến thức về các dạng biểu thức đại số
2) Xác định các thành phần trong biểu thức xem các biến số xuất hiện ở đâu.
Ví dụ: Trong các biểu thức đại số sau đâu là biểu thức nguyên, đâu là biểu thức phân (với x, y là biến; a,b là hằng):
a)

b)

c)
LG: a) Biểu thức nguyên
b) Biểu thức phân
c) Biểu thức phân
II. Tính giá trị của biểu thức:
Loại 1: Tính giá trị biểu thức tại một giá trị cụ thể của biến
Phương pháp:
1) Xác định các biến và hệ số của biểu thức.
2) Thu gọn các biểu thức hoặc biến đổi để biểu thức đơn giản hơn.
3) Thay trực tiếp giá trị cho trước của biến vào biểu thức rồi tính.
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức sau tại m = - 1 và n = 2:
a) 3m - 2n; b) 7m + 2n - 6;
LG:
a) Thay m = -1 ; n = 2 vào biểu thức ta được:
3.(-1) - 2.2 = -3 -4 = -7.
Vậy giá trị của biểu thức 3m - 2n tại m = - 1 và n = 2 là -7;

b) Thay m = -1 v à n = 2 vào biểu thức ta được:
7.(-1) + 2.2 -6 = -7 + 4 -6 = -9.
Vậy giá trị của biểu thức 7m + 2n - 6 là -9.
Loại 2: Tìm điều kiện của biến để biểu thức đại số có nghĩa

Phương pháp:
1) Thu gọn biểu thức (nếu biểu thức chưa thu gọn)
2) Xác định điều kiện của biến sao cho chúng thỏa mãn tính chất các phép toán có mặt trong biểu thức.
Ví dụ: Với giá trị nào của biến số thì mỗi biểu thức sau không có nghiã:
a)
b)
c)

a) Biểu thức không có nghĩa khi: . Do đó:
Hoặc
Hoặc
Vậy biểu thức không có nghĩa khi x=-1, y tùy ý và tại các giá trị x tùy ý, y=2
b) Vì với mọi , nên .
Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức không xác định. Nói cách khác biểu thức xác định với mọi .
c) Biểu thức không có nghĩa khi:


Vậy biểu thức có nghĩa khi x = 1; 2; 3; 4;...; 1999
LG:
Loại 3: Tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất chủa biểu thức đại số
Phương pháp:
1) Đưa các biến về dạng bình phương hoặc có số mũ chẵn
2) Vận dụng các tính chất của số mũ chẵn vào phép toán.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a)
b)
LG:
a) Ta có:
với

với
nên
Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi và chỉ khi
hay
Vậy giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức là 2 khi
b) Ta có:
với
và
với
nên
Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi và chỉ khi
và
hay
và
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 1 khi
và
Loại 4: Một số bài toán thực tế
Trong thực tế có nhiều bài toán không cho ta ngay biểu thức đại số mà ta phải tìm biểu thức đó rồi mới tính giá trị của biểu thức.

Phương pháp:
1) Chọn các biến thích hợp và xác định điều kiện cho biến thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2) Biểu thị các số liệu chưa biết qua biến đã chọn.
3) Tìm mối liên hệ giữa các số liệu để lập thành biểu thức.
4) Tính giá trị của biểu thức tìm được
Ví dụ: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài x(m), chiều rộng y(m) (x,y>4).
Người ta mở nối đi xung quanh vườn ( thuộc đất của vườn) rộng 2m.
a) Hỏi chiều dài, chiều rộng của khu đất còn lại để trồng trọt là bao nhiêu (m) ?
b) Tính diện tích khu đất trồng trọt biết x = 15m, y = 12m.
LG:
a) Lối đi rộng 2m nên: chiều dài còn lại để trồng trọt là: x - 2 (m).
chiều rộng còn lại là: y - 2 (m).
b) Khi đó diện tích của khu đất trồng là:
(x - 2).( y - 2) ( ).
Thay x = 15m; y = 12m ta có:
Diện tích đất trồng trọt là: 13.10 = 130 ( ).
III. Biểu thức đại số bằng nhau
Loại 1: Chứng minh các biểu thức đại số bằng nhau
Phương pháp:
1) Cho biến nhận giá trị là các số thực bất kì.
2) Tính giá trị của mỗi biểu thức.
3) So sánh giá trị tìm được của hai biểu thức. Kết luận.
Ví dụ: Hãy chứng tỏ rằng hai biểu thức sau không bằng nhau:
a)
và
b)
và
LG:
a) Hai biểu thức được xác định với
Do vậy, lấy
, ta được:

Vậy hai biểu thức không bằng nhau.
b) Hai biểu thức được xác định với
Do vậy, lấy
, ta được:


Vậy hai biểu thức không bằng nhau.
Phương pháp:
1) Biến đổi các biểu thức
2) Tìm điều kiện của biến thỏa mãn biểu thức đã cho.
Loại 2: Tìm giá trị của biến để biểu thức đại số nhận giá trị bằng nhau
Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi
ta đều có:

b)
a)
LG:
a) Ta có:
Vậy với mọi ta có
b) Ta có:


Vậy với mọi
ta có
IV. Đơn thức:
Loại 1: Nhận dạng đơn thức
Phương pháp:
1) Xác định tính chất phép toán trong biểu thức đã cho
2) Nếu biểu thức chỉ có hai phép toán nhân và lũy thừa, ta kết luận đó là đơn thức. Các trường hợp còn lại không phải là đơn thức.
Ví dụ: Trong các biểu thức sau đây:
;
Biểu thức nào là đơn thức nếu:
a) a, b là hằng, x, y, z là biến ()?
b) x là hằng, a, b, y, z là biến?
Trong mỗi trường hợp hãy cho biết hệ số, phần biến của mỗi đơn thức.
LG:
a) Các biểu thức đã cho đều là đơn thức.
+ Đơn thức
có phần hệ số là:
phần biến là:
+ Đơn thức
có phần hệ số là:
phần biến là:
b) Biểu thức
là đơn thức, với phần hệ số là:
và phần biến là:
Biểu thức còn lại không là đơn thức.
Loại 2: Thu gọn đơn thức
Phương pháp:
1) Xác định phần hệ số và phần biến của các đơn thức trong biểu thức.
2) Cộng, trừ, nhân, chia các đơn thức đó theo quy tắc.
Ví dụ: Cho các đơn thức với x, y, z là các biến;
a, b là hằng số
a) Thu gọn các đơn thức trên.
b) Xác định hệ số của mỗi đơn thức.
LG:
a) Ta có:
b) HS tự làm
Loại 3: Tính giá trị của đơn thức
Phương pháp:
1) Thay trực tiếp các giá trị của biến vào biểu thức đã cho.
2) Thực hiện các phép tính đại số.
Ví dụ: Tính giá trị của đơn thức:
LG:
Với a = -2; b = -3, c = -1, ta có:

với
a = -2; b = -3, c = -1.
Loại 4: Bậc của đơn thức
Phương pháp:
1) Thu gọn đơn thức (nếu đơn thức chưa được thu gọn)
2) Xác định phần hệ số và phần biến của đơn thức.
3) Xác định bậc theo biến là xác định số mũ cao nhất của biến đó.
Ví dụ: Quan sát dãy các đơn thức:
Viết ra đơn thức thứ 2000 và đơn thức thứ n.
LG:
Ta có nhận xét:
+ Đơn thức có hệ số là số lẻ thì có dấu "-" + Đơn thức có hệ số là số chẵn thì có dấu "+" + Số mũ của biến x hơn số thhứ tự của đơn thức là 1 đơn vị
Vậy: Đơn thức thứ 2000 là:
Đơn thức thứ n là:
Loại 5: Đơn thức đồng dạng
Phương pháp:
1) Thu gọn đơn thức (nếu đơn thức chưa được thu gọn)
2) Xác định phần hệ số và phần biến của các đơn thức
3) So sánh phần biến của chúng với nhau.
4) Khi cộng, trừ các đơn thức đồng dạng ta chỉ cần cộng hoặc trừ phần hệ số, giữ nguyên phần biến.
Ví dụ: Cho các biểu thức:
a) Gọi a là hằng số; x, y là biến số thì trong các biểu thức trên biểu thức nào là đơn thức và các đơn thức đó có đồng dạng không?
b) Cũng câu hỏi như trên nếu a, x là hằng số, y là biến số; nếu a,y là hằng số, x là biến số.
LG:
a) Các biểu thức:
là các đơn thức và chúng là các đơn thức đồng dạng.
b)
Nếu a, x là hằng số, y là biến số ta được 4 đơn thức và cả 4 đơn thức đèu đồng dạng là:

Nếu a, y là hằng số, x là biến số ta viết lại các biểu thức như sau:

Có 4 đơn thức và cả 4 đơn thức đều đồng dạng là:
V. Cộng, trừ đa thức:
Phương pháp: Dựa vào quy tắc “dấu ngoặc” và tính chất của các phép tính trên số, ta có thể cộng, trừ các biểu thức số. Bằng cách tương tự, ta có thể thực hiện các phép toán cộng về trừ các đa thức.
Ví dụ: Cho hai đa thức:
Tính M + N; M - N; N - M
LG:
VI. Nhân chia đa thức
1. Nhân đơn thức với đa thức.
Phương pháp:
1) Nhân đơn thức lần lượt với các hạng tử của đa
thức
2) Cộng các tích lại với nhau
Ví dụ: Thực hiện phép nhân
a) b)
Giải:
Áp dụng các bước trên ta có:
a)

b)
2. Nhân đa thức với đa thức
Loại 1: Các bài toán nhân đa thức thông thường
Phương pháp:
1) Nhân lần lượt các số hạng của đa thức này với số
hạng của đa thức kia
2) Cộng các tích lại với nhau
Ví dụ: Thực hiện phép nhân:
a)

b)
Giải:











b) Ta có:







Vậy

a) Ta có:
Loại 2: Các bài toán chứng minh dựa trên phép nhân đa thức
Phương pháp:
1) Thực hiện nhân đa thức
2) Thu gọn đa thức
3) So sánh các đa thức thu được
Ví dụ: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:


Giải:
Ta có:




Vậy với mọi x thì giá trị của biểu thức đã cho đều bằng -8 hay biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x (đpcm).
Loại 3: Các bài toán tìm x
Phương pháp:
1) Thực hiện nhân đa thức theo quy tắc
2) Giải bài toán tìm x thông thường
Ví dụ: Tìm x biết:

Giải:
Ta có:





Vậy x = 1 là giá trị cần tìm.
Loại 4: Nhân đa thức đã sắp xếp
Phương pháp:
1) Đặt các đa thức theo cột dọc
2) Nhân lần lượt các hạng tử với nhau như phép nhân các số thực
Ví dụ: Thực hiện phép tính:

a)


b)









Giải:

a)




Vậy

b) Với cách làm tương tự ta có:


Chú ý: Nhưng với những bài toán nhân đa thức này ta không nhất thiết phải đặt chúng theo cột dọc. Ta có thể nhân theo hàng ngang như nhân đa thức với đa thức bình thường.
VII. Những hằng đẳng thức đáng nhớ
Loại 1: Khai triển các hằng đẳng thức cho trước
Phương pháp:
1)Nhận dạng đặc điểm của biểu thức xem nó là dạng
hằng đẳng thức nào.
2) Áp dụng công thức khai triển của các hằng đẳng
thức tương ứng
Ví dụ: Tính:
a) b)

c) d)

Giải:
a)
+ Bước 1: Nhận dạng hằng đẳng thức:
Ta thấy biểu thức này có dạng trong đó:
A = 2 và B = xy
+ Bước 2: Áp dụng công thức khai triển hằng dẳng thức
để tính:
Áp dụng công thức:

Ta có:

Hay

Tương tự với các bước làm trên ta tính được các biểu thức còn lại
Loại 2: Thành lập các hằng đẳng thức
Phương pháp:
1) Nhận xét các hạng tử của biểu thức.
2) Tìm các số hạng thỏa mãn yêu cầu
3) Từ dạng khai triển của hằng đẳng thức thu gọn về dạng tổng quát
Ví dụ: Điền vào chỗ trống:

a) b)


c) d)


Giải:
a)
+ Bước 1: Nhận xét các hạng tử của biểu thức:
Ta thấy: vế phải có:
vế trái là dạng bình phương của một tổng
+ Bước 2: Tìm các số hạng phù hợp
Để vế phải trở thành dạng bình phương của một
tổng thì theo công thức khai triển số cần tìm của vế
trái là: 2.5.3x
+ Bước 3: Từ dạng khai triển thu gọn về hằng đẳng thức
đáng nhớ

* Tương tự với cách làm trên ta có thể làm những bài toán còn lại
Loại 3: Tính giá trị biểu thức
Phương pháp:
1) Thu gọn biểu thức về dạng hằng đẳng thức tổng quát
2) Thay giá trị của biến số
Ví dụ: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) với x = 6;

b) với x = 22
Giải:
a)
Bước 1: Thu gọn hằng đẳng thức


Bước 2: Thay số
Với x = 6 ta được:


Chú ý: Với bài toán này học sinh cũng có thể thay trực tiếp giá trị của biến vào từng số hạng ban đầu để tính

b) Tương tự
Loại 4: Rút gọn
Phương pháp:
1) Xác định các hạng tử lập thành hằng đẳng thức hay
các hằng đẳng thức
2) Đặt thừa số chung để thu gọn biểu thức hoặc ghép
các hạng tử thành hằng đẳng thức
Ví dụ: Rút gọn biểu thức
a)
b)
Giải:
a)
+ Bước 1: Xác định các hạng tử lập thành hằng đẳng thức
Ta thấy và lập thành hằng đẳng thức
và lập thành hằng đẳng thức
+ Bước 2: Gép các thừa số để lập thành hằng đẳng thức:






Vậy
b)
Tách hạng tử thành 3 số hạng và ghép đôi với ba số hạng còn lại ta được:
+
+
+
Vậy ta được
Loại 5: Các bài toán chứng minh dựa vào các hằng đẳng thức
Đây là dạng toán cần sử dụng hợp lý các hằng đẳng thức, việc khai triển và kết hợp các hằng đẳng thức được sử dụng linh hoạt để tìm lời giải cho bài toán
Phương pháp:
1) Viết dạng khai triển của các hằng đẳng thức
2) Thu gọn các hạng tử của các hằng thức sau khi khai triển
3) Làm xuất hiện các hằng đẳng thức mới hoặc dạng đơn giản hơn của biểu thức
Ví dụ : Chứng minh rằng:


Áp dụng tính biết a + b = -5 ; a.b = 6;
Giải:
(đpcm)
Thay số ta có:
Loại 1:Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp:
1) Tìm nhân tử chung
2) Đặt nhân tử chung
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:
(Toán 8-tập1-tr 18)
Giải: Ta thấy ;
VIII. Phân tích đa thức thành nhân tử
Vậy:
Một số dạng bài tập:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)

b)
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:
a)
b) x(x-1) - y(1-x) tại x =2001 và y=1999
Bài 3: Tìm x, biết:

a)

b)

Bài 4: Chứng minh rằng chia hết cho 54(với n là số tự nhiên)
Loại 2:Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phương pháp:
1) Phân tích các hạng tử trong đa thức
2) Áp dụng các hằng đẳng thức đã học phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:


a)
a)
b)
c)
LG:
b)
c)
Tương tự như trên, áp dụng các hằng đẳng tức đáng nhớ đã được học ta giải được các bài toán tương tự sau:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: (Toán8 - Tập 1 -tr20)
a)
b)
c)
Bài 2: Tìm x,biết: (Toán8 - Tập 1 -tr20)
a)

b)
Bài 3: Tính nhanh: (Toán8 - Tập 1 -tr21)
a)
b)
Loại 3: Phương pháp nhóm hạng tử:
Phương pháp:
1)Ta nhóm các hạng tử của đa thức sao cho các hạng tử trong nhóm có nhân tử chung hoặc có dạng của hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.
2) Phân tích các nhóm




Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
(Toán8- Tập1 –tr21)
Ta có:
Giải:
Tương tự ta có thể giải được những bài sau:


Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: (Toán8- Tập1 –tr22)
a)
b)
Bài 2: Tính nhanh: (Toán8- Tập1 –tr22)
a)
b)
Bài 3: Tìm x, biết: (Toán8- Tập1 –tr22)
a)
b)
Loại 4: Phương pháp tách hạng tử
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tích ac.
Bước 2: Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chọn thừa số mà tổng bằng b
Chú ý:. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích:
- Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung
- Hoặc làm xuất hiện hiệu của hai bình phương
Ví dụ1: Phân tích đa thức thành nhân tử: (NC và phát triển toán8- tập1- tr39)
Giải:

Cách 1: ( Tách hạng tử thứ hai)
Cách 2 (Tách hạng tử thứ nhất)


Loại 5: Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
1) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiên hiệu của hai bình phương
Phương pháp:
1) Phân tích các hạng tử thành dạng bình phương một số
2) Thêm , bớt để xuất hiện dạng hiệu hai bình phương.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
( NC và phát triển toán8 - tập1 - tr44 )
Giải:
Ta có:
2) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ:
Phân tích đa thức thành nhân tử
(NC và phát triển toán8- tập1- tr43)
Giải:
Cách 1: Ta có:


Cách 2: Ta có:
Loại 6: Phương pháp đổi biến
Phương pháp:
1) Biến đổi đa thức để làm xuất hiện các phần
biểu thức giống nhau của biến
2) Đặt phần giống nhau đó bằng một biến mới
3) Thay biến mới vào đa thức đã cho ta được một đa thức mới đơn giản hơn
4) Phân tích mới đa thức thành nhân tử
5) Thay các biến cũ trở lại phương trình.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: (NC và phát triển toán8- tập1- tr44 )
Giải:
Ta có:


Đặt: .
Đa thức đã cho có dạng:




Thay ta được:

Tương tự ta có thể phân tích được đa thức sau thành nhân tử:

Loại 7: Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp:
1) Xác định hệ số của hai đa thức nhân tử.
2) Thực hiên phép nhân hai đa thức rồi đồng nhất các hệ thức.

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử (NC và phát
triển toán8- tập1- tr45)
Giả sử đa thức đã cho được phân tích thành tích của hai đa thức khác
Giải:
Giả sử đa thức được phân tích thành 2 đa thức dạng:


Thực hiện phép nhân ta được:



Đồng nhất đa thức đã cho ta được:

Vậy

Tương tự ta có thể phân tích được các đa thức sau thành nhân tử:
Loại 8: Bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
Trong phân tích đa thức thành nhân tử, nhiều khi ta phải sử dụng phối hợp nhiều phương pháp để phân tích hoặc một bài có thể có nhiều cách để phân tích.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

Giải: Ta có:



Nhận xét: Ta thấy bài toán trên không chỉ sử dụng một phương pháp giải mà áp dụng kết hợp các phương pháp: nhóm nhiều hạng tử, sử dụng hằng đẳng thức, phương pháp đặt nhân tử chung.
Tương tự như vậy ta giải được các bài toán:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng nhiều cách

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử



IX . Chia đa thức cho đơn thức; chia đa thức cho đa thức
Loại 1: Bài toán áp dụng phương pháp chia đa thức
Phương pháp:
1) Áp dụng các quy tắc chia đã học để thực hiện yêu cầu bài toán
Ví dụ: Thực hiện phép chia:

Giải:
Ta có:
Vậy thương của phép chia là:
Tương tự ta thực hiện được các phép chia:
Loại 2: Loại toán chia hết
Phương pháp: Áp dụng điều kiện chia hết của hai đa thức
Ví dụ: Không làm tính chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đơn thức B không?

Giải:
Ta thấy mọi hạng tử của A đều chia hết cho B nên đa thức A chia hết cho đa thức B
Với điều kiện này ta giải được một số bài tập như:
Bài 1: Tìm n để mỗi phép chia sau là phép chia hết
a)
b)
c)