Chương IV. §5. Đa thức

Đa Thức
I- Một số tính chất
f(x) và g(x) là các đa thức biến x
f(a) = 0 với a ? Q ? f(x) có nghiệm x = a.
Định lý Bơdu (Bezout): Dư khi f(x) chia cho x-a là f(a).
f(x) g(x), bậc f(x) < bậc g(x) ? f(x) là đa thức 0.
f(x) ? g(x) ? các hệ số tương ứng bằng nhau.
Số nghiệm của một đa thức bậc n không quá n (n ? N)
II- Các bài tập.
Bài 1: Phân tích đa thức P = (x + y + z )3 - x3 - y3 - z3
thành nhân tử
Bài 2: Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn x.P(x-1) ? (x-26).P(x)
Giải: Ta có P(0) = 0? P(1) = 0 ? P(2) = 0? .? P(25) = 0
Vậy P(x) = x(x-1)(x-2).(x-25).Q(x)
? P(x-1) = (x-1)(x-2)(x-3) . (x-26).Q(x-1)
x.P(x-1) = x(x-1)(x-2)(x-3) . (x-26).Q(x-1)
Mà x.P(x-1) = (x-26).P(x)
x.P(x-1)) = x(x-1)(x-2)(x-3 .(x-25) (x-26).Q(x-1)
(x-26).P(x) =x(x-1)(x-2)(x-3 .(x-25) (x-26).Q(x-1)
(x-26). x(x-1)(x-2).(x-25).Q(x) =x(x-1)(x-2)(x-3 .(x-25) (x-26).Q(x-1)
Nên Q(x-1) = Q(x) ? Q(x) = a (hằng số)
Vậy P(x) = ax(x-1)(x-2) .(x-26)
Bài 3: Cho f(x) là một đa thức có hệ số nguyên và f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng f(x) không thể có nghiệm số nguyên.
Giải:
Giả sử f(x) có nghiệm số nguyên là a thì f(x) (x - a)
? f(x) = (x - a). g(x) (với g(x) là đa thức có hệ số nguyên)
Mà f(0), f(1) là số lẻ.
Ta có: f(0) = - a. g(0) là một số lẻ ? a là số lẻ và g(0) lẻ
f(1) = (1 - a). g(1) là một số lẻ ? (1 - a) là số lẻ và g(1) lẻ
+) Nếu a là số lẻ ? (1- a) là chẵn => Vô lí.
+) Nếu g(0) lẻ => g (1) lẻ => Vô lí.
Vậy f(x) không thể có nghiệm số nguyên.
Bài 5: Cho đa thứcP(x) = a0xn + a1xn-1+ ...+an-1x +an.
Trong đó a0 0 và ai Z (i = 1, 2, 3,..n).Ký hiệu P ( k) là giátrị của đa thức khi thay x bởi k. Biết P(2002); P(2003) ; P(2004) đều chia hết cho 3. Chứng minh rằng:P(2000) + 2P(2005) chia hết cho 3
Giải:
Với m,n Z, m n Ta luôn có P(m) - P(n) m - n
? P(m) - P(2002) m- 2002
P(m) - P(2003) m- 2003
P(m) - P( 2004) m- 2004
Với mọi m khác 2002, 2003, 2004 và m nguyên
Vì m - 2004; m - 2003; m - 2002 là 3 số nguyên liên tiếp nên trong đó có một số chia hết cho 3. Do đó một trong các số P(m) - P(2002); P(m) - P(2003); P(m) - P(2004) có một số chia hết cho 3.
Mặt khác theo giả thiết các số P(2002); P(2003); P(2004) đều chia hết cho 3. Vậy P(m) 3 (với mọi m Z) .Khi đó P(2000) 3; P(2005) 3.
? P(2000) + 2P(2005) 3
Bài toán xác định đa thức
Dạng 1: Xác định đa thức bậc n (n = 2, 3) biết n+1 giá trị của đa thức

Bài tập: Xác định đa thức bậc 3 biết f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 5); f(3) = 22
Giải: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Theo đầu bài ta có: f(0) = 1 ? d = 1
f(1) = 0 ? a + b + c + d = 0
? a + b + c = -1
f(2) = 5 ? 8a + 4b + 2c + 1 = 5
? 4a + 2b + c = 2
f(3) = 22 ? 27a + 9b + 3c = 21
? 9a + 3b + c = 7
a = 1; b = 0 ; c = -2
f(x) = x3 - 2x +1
Bài toán xác định đa thức
Dạng 2: Xác định đa thức dư khi biết một số phép chia khác
Bài tập: Đa thức f(x) khi chia cho x+1 dư 4; khi chia cho x2 + 1 dư 2x+3
Tìm đa thức dư khi chia f(x) cho (x+1)(x2+1)
Bài toán xác định đa thức
Dạng 3:Phương pháp dùng đa thức phụ
Bài tập : Tìm đa thức f(x) bậc 3, biết rằng khi chia f(x) cho x-1, x-2, x-3 đều dư 6 và f(-1) = -18
Giải: Ta có f(1) = f(2) = f(3) =6, Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c.
Ta tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = 0 ? a, b, c là nghiệm của hệ


a = b = 0; c = - 6 ? g(x) = f(x) - 6
Do bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3
g(x) =(x-1)(x-2)(x-3).n và n là hệ số của x3 của f(x).
f(x) = n(x-1)(x-2)(x-3) + 6 mà f(-1) = -18 ? n = 1
f(x) = x3 - 6x2 + 11x.

a + b + c + 6 = 0
4a + 2b + c + 6 = 0
9a + 3b + c + 6 = 0