Chương I. §9. Thứ tự thực hiện các phép tính

SỞ GD&ĐT BẾN TRE KỲ THI HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẾN TRE ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG
Năm học 2008 – 2009

ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN
Thời gian: 180 phút
Câu 1 (3đ) :
Giải hệ phương trình:



Câu 2 (3đ):
Cho một đường tròn với hai dây AB và CD không song song. Đường vuông góc với AB kẻ từ A cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại M và P. Đường vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BC, MN đồng quy; các đường thẳng AC, BD, PQ đồng quy.

Câu 3 (2đ):
Tìm nghiệm nguyên của phương trình :


Câu 4 (3đ):

Cho dãy số
xác định như sau :


Tìm


Câu 5 (3đ):

Cho hai số tự nhiên n, k thỏa :
. Chứng minh rằng :



Câu 6 (3đ):

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện:


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 7 (3đ):

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Các điểm X,Y,Z lần lượt di động trên các cạnh C’D’, AD, BB’. Định vị trí của X,Y,Z để chu vi tam giác XYZ nhỏ nhất.



ĐÁP ÁN MÔN TOÁN
Thời gian: 180 phút
Câu 1 (3đ) :

Giải hệ phương trình:


Đáp án



Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số: (1; 3; 4; 1) và (x; y; z; t). Ta có:

. ( 1 đ )
Đẳng thức xảy ra khi :

Vậy hệ đã cho
( 1 đ )
Bằng cách đặt :
, ta suy ra :

Thay vào (2), ta được:

Vậy hệ đã cho chỉ có một nghiệm :
(1 đ )
















Câu 2 (3đ):

Cho một đường tròn với hai dây AB và CD không song song. Đường vuông góc với AB kẻ từ A cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại M và P. Đường vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BC, MN đồng quy; các đường thẳng AC, BD, PQ đồng quy.

Đáp án :



Gọi giao điểm của MN với BC và AD lần lượt là I và J. Ta có:



Tương tự,


Nhưng do

Tức là
suy ra
hay


Lập luận tương tự đối với PQ.


















Câu 3 (2đ):

Tìm nghiệm nguyên của phương trình :



Đáp án :

Pt


Nếu y = -1 thì x nguyên tuỳ ý. (0,5)
Nếu
thì
là phương trình ẩn y, có


Phải có
là số chính phương. (0,5)
Có các trường hợp :
a)
(0,5)

b)





Vậy phương trình đã cho có nghiệm (0;0), (2;3) , (-2;1), và (m;-1) với m nguyên tùy ý. (0,5đ)






















Câu 4 (3đ):

Cho dãy số
xác định như sau :


Tìm


Đáp án :

Ta có :

Xét hàm số :



Ta có :

Vậy :
thì
( 0,5 )




Gọi a là nghiệm của :
(0,5)
Ta có :

Theo định lí La-grăng :

Do
(0,5)

(1,0)
Mà

Vậy :
(0,5)







Câu 5 (3đ):

Cho hai số tự nhiên n, k thỏa :
. Chứng minh rằng :



Đáp án :

Do

(1đ)
Mặt khác :