Chon HSG trường Toán 7

TRƯỜNG THCS HỒ TÙNG MẬU

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2016-2017
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)


Câu 1: (4,5 điểm)
Tính giá trị của biểu thức:

Tìm x, biết:

Tính giá trị của biểu thức M = 21x2y + 4xy2 với x, y thoả mãn:
(x - 2)4 + ( 2y - 1)2014

Câu 2: (4,5 điểm)
1) Tìm các số x, y, z biết:
và

2) Tìm x , biết: (x - 2)(x +
) > 0.
3) Tìm số nguyên x, biết rằng:

Câu 3: (5,0 điểm)
1) Cho các số nguyên dương a, b, c, d, e, f biết :

và af – be = 1 Chứng minh : d ≥ b + f
2) Cho
,
. So sánh
với
.
Câu 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D ( D khác B, C). Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD. Đường vuông góc với BC kẻ từ D cắt BA tại M. Đường vuông góc với BC kẻ từ E cắt tia AC tại N. MN cắt BC tại I.
Chứng minh rằng: DM = EN.
Chứng minh rằng IM = IN; BC < MN.
Gọi O là giao của đường phân giác góc A và đường thẳng vuông góc với MN tại I. Chứng minh rằng:
. Từ đó suy ra điểm O cố định.
Câu 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho
(E nằm giữa B và D). Chứng minh rằng
.


.............. Hết.............










MÔN THI: TOÁN
Câu

Hướng dẫn
Điểm

Câu1:
4,5đ
1) (1,5đ)

1,5


2) (1,5đ) Ta có:




1,5


3) (1,5đ) Vì (x - 2)4
0; (2y – 1) 2014
0 với mọi x, y nên
(x - 2)4 + (2y – 1) 2014
0 . Mà (x - 2)4 + (2y – 1) 2014
0
Suy ra (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2014 = 0 suy ra x = 2, y =

Khi đó M = 44.
0,5
0,25
0,5

0,25

Câu2:
4,5đ
1) (1,5đ) Từ


Vậy:

Suy ra x = -9; y = -12; z = -16.
0,5

0,5

0,5


(1,5đ) Từ (x - 2)(x +
) > 0 suy ra x – 2 và x +
cùng dấu.
Dễ thấy x – 2 < x +
nên ta có:
x – 2 và x +
cùng dương
x – 2 > 0
x > 2.
x – 2 và x +
cùng âm
x +
< 0
x < -

Vậy x > 2 hoặc x < -
.
0,25



0,5

0,5

0,25


3)(1,5đ) Ta có



Do đó: 9
x
14 vì x nguyên nên

0,5

0,5

0,5

Câu3:
(5.0đ)



1)(1,5đ) M = 4(x + y) + 21xy(x + y) + 7x2y2(x+ y) + 2014 = 2014
(Vì x + y = 0)
1,5


2)(2,0đ) Vì p(x)
5 với mọi x nguyên nên p (0) = d
5.
p (1) = a + b + c + d
5 (1)
p (- 1) = - a + b - c + d
5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra : 2(b + d)
5 và 2(a + c)
5 .
Vì 2(b + d)
5, mà (2, 5) = 1 nên b+ d
5 suy ra b