Cách tìm đạo hàm riêng cấp 2, bài toán cực trị của hàm 2 biến(của SV, ko phải của GV)

1
Bài thảo luận Nhóm 1
Môn: Toán cao cấp 2
Trường Đại học Thương Mại
2
Các thành viên Nhóm 1
1. 08D150263 Đinh Thị Ngọc Ánh
2. 08D150213 Đỗ Nhật Anh
3. 08D150353 Nguyễn Phương Anh (TK)
4. 08D150354 Nguyễn Thị Hoàng Anh
5. 08D150006 Đỗ Thị Ca
6. 08D150005 Đinh Ngọc Châm
7. 08D150074 Phùng Thị Hải Anh
8. 08D150145 Vũ Thị Thuỳ Anh (NT)
9. 08D150214 Nguyễn Thị Lan Anh
10. 08D150004 Bùi Thị Bình.
3
Đề tài
1. Nêu cách tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm 2 biến. Cách tính gần đúng bằng vi phân toàn phần. Cho ví dụ minh hoạ và nêu 1 vài ứng dụng của đạo hàm riêng trong toán kinh tế.

2. Nêu cách giải bài toán cực trị của hàm 2 biến (tự do và có điều kiện ràng buộc). Cho ví dụ minh hoạ.Nêu một số ứng dụng của bài toán cực trị trong kinh tế
4
Mục lục
I. Hàm 2 biến
1.Bổ sung một số khái niệm về tập hợp phẳng
2. Định nghĩa hàm 2 biến
3.Đạo hàm riêng
3.1 Đạo hàm riêng cấp 1
3.2 Đạo hàm riêng cấp 2
4.Vi phân toàn phần
4.1 Hàm khả vi và vi phân toàn phần
4.2 Tính gần đúng bằng vi phân toàn phần
II. Cực trị của hàm 2 biến
1. Cực trị tự do
2. Cực trị có điều kiện ràng buộc
III. ứng dụng của đạo hàm riêng trong kinh tế
IV. ứng dụng của bài toán cực trị trong kinh tế
5
I. Hàm hai biến.

1. Bổ sung một số khái niệm về tập hợp phẳng.
Trong Xét hệ tọa độ trực chuẩn Oxy
E : Tập hợp phẳng

Tập các điểm của không gian cách điểm cố định nhỏ hơn một số r > 0 cho trước gọi là một hình cầu mở tâm , bán kính r. Mỗi hình cầu như vậy được gọi là một lân cận của điểm
6
1.Bổ sung khái niệm về tập hợp phẳng.

- gọi là điểm trong của tập hợp E nếu tồn tại 1 lân cận của nằm hoàn toàn trong tập E
- gọi là điểm biên của tập E nếu mọi lân cận của đều chứa những điểm thuộc E và không thuộc E.
- Đường biên của tập E gồm tất cả những điểm biên của nó.
- Tập E gọi là tập mở nếu mọi điểm thuộc E đều là điểm trong của nó.

7
2. Định nghĩa hàm 2 biến
2.1 Định nghĩa:

Cho tập E trên Oxy.Một quy luật f đặt tương ứng mỗi cặp giá trị (x,y) thuộc E của các biến x,y với một và chỉ một giá trị của biến z bởi đẳng thức z = f(x,y) gọi là một hàm của hàm 2 biến độc lập x và y

z : gọi là biến hàm hay biến phụ thuộc tập E.
Tập E: TXĐ
Tập f(E): là tập giá trị


hay

8
2. Định nghĩa hàm 2 biến
2.2 Đồ thị hàm số

z= f(x,y) Xác định trên E


9
3. Đạo hàm riêng
3.1 Đạo hàm riêng cấp 1
* Định nghĩa
Giả sử cho hàm z= f(x,y) xác định trong lân cận điểm
Đạo hàm riêng cấp 1 theo biến x tại

10

* Đạo hàm riêng theo biến x tại (x,y) E





* Đạo hàm riêng theo biến y tại (x,y) E
Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại
11
Chú ý:

- Khi tính đạo hàm riêng theo biến x hoặc y ta coi như hàm số chỉ phụ thuộc vào 1 biến đó, còn vai trò của biến kia là hằng số và áp dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm 1 biến
12
Ví dụ 1: Tính đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số

1.
2.

Lời giải

1.





13
2.
14
3.2 Đạo hàm riêng cấp 2
* Định nghĩa:

Cho hàm 2 biến z= f(x,y) có đạo hàm riêng cấp 1
Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1(Nếu có) gọi là đạo hàm riêng cấp 2 của hàm đã cho

15
Định lý:

Hàm 2 biến z =f(x,y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục thì:



* Chú ý:
Khi tính đạo hàm riêng của những hàm số sơ cấp, ta chỉ cần tính 3 loại :


và

16
Ví dụ: Tính đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số:



Giải
17
4. Vi phân toàn phần
4.1 Hàm khả vi và vi phân toàn phần
a. Định nghĩa:
Giả sử hàm z = f(x,y) xác định trên một lân cận của điểm

Với đủ nhỏ về trị tuyệt đối sao cho
cũng thuộc lân cận đó.Khi đó, nếu tồn tại các hàm A(x,y); B(x,y) sao cho:


Trong đó : : là các VCB bậc cao hơn
Trong quá trình : thì ta nói hàm số đó khả vi tại (x,y)
và biểu thức

Gọi là: vi phân toàn phần của hàm số đó tại (x,y)





18
Định lý:

Nếu hàm z = z(x,y) có các đạo hàm riêng theo x và y trên một lân cận của điểm M(x,y) và các đạo hàm riêng đó liên tục tại M(x,y) thì hàm số đó khả vi tại điểm đó và:




Công thức tính vi phân của hàm số:
z = f(x,y) x, y là các biến độc lập.
Ta có:
19
4.2 Tính gần đúng bằng vi phân toàn phần
Nếu hàm z = z(x,y) khả vi tại điểm (x,y) thì với
nhỏ về trị tuyệt đối, ta có:
20
Ví dụ: Tính gần đúng bằng vi phân toàn phần biểu thức sau:


Giải:
Xét hàm 2 biến:

Tại Và

Có:
21


Theo công thức tính gần đúng, ta có:


Thay số ta được :
22
II.Cực trị của hàm 2 biến
1 Cực trị tự do.

* Định nghĩa:
Hàm z = f(x,y) đạt cực đại( Cực tiểu) tại điểm Nếu tồn tại một lân cận của điểm sao cho trên lân cận đó hàm số luôn xác định và bất đẳng thức:


luôn thỏa mãn

Giá trị cực đại, cực tiểu gọi chung là cực trị
- : gọi là giá trị cực tiểu
: gọi là giá trị cực đại


23
1.1 Điều kiện để hàm 2 biến có cực trị
1.1.1 Điều kiện cần:

Nếu hàm z = z(x,y) đạt cực trị tại điểm và tại đó hàm số có các đạo hàm riêng thì các đạo hàm riêng đó triệt tiêu tại ,tức là:




b. Điều kiện đủ
Định lý: Xét hàm 2 biến: z = f(x,y)



24
Hàm số có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục:
25

Nếu: Hàm số không đạt cực trị tại

Nếu: Hàm số đạt cực trị tại


Nếu: hàm số đạt cực tiểu tại



Nếu: hàm số đạt cực đại tại


Chú ý:
Nếu: ta chưa có kết luận cụ thể tại điểm
26

Các bước tìm cực trị của hàm 2 biến

Bước 1: Xét điều kiện của các biến

Bước 2: Tìm điểm tới hạn bằng cách giải hệ




Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ:
- Tìm các đạo hàm riêng cấp 2
- Tại các điểm tới hạn, tính A, B, C
- Kết luận theo định lý về điều kiện đủ.
27
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số:
Đk: Hàm số xác định với
Ta có:


Giải hệ pt:






Hàm số có 2 điểm tới hạn:
28
Tính đạo hàm riêng cấp 2:
; ;
* Tại Ta có:



Hàm số ko đạt cực trị tại
* Tại Ta có:




Hàm số đạt cực đại tại
29
2. Cực trị có điều kiện ràng buộc
2.1 Một số khái niệm
Bài toán:


ta đưa về (1) bằng cách lấy dấu hàm mục tiêu ngược lại

- E: Tập các phương án.Mỗi phương án làm cực tiểu hàm mục tiêu gọi là 1 phương án tối ưu hay 1 nghiệm tối ưu.
- Tập E: là tập lồi nếu bất kỳ 2 điểm M, N thuộc E thì mọi điểm nằm trên đoạn thẳng nối 2 điểm đó cũng thuộc E
30
Hệ các điều kiện trên các biến x,y để xác định tập E gọi là các hệ ràng buộc

Một điểm biên của tập E được gọi là một điểm cực biên của E nếu không có 1 đoạn thẳng nào trong E nhận điểm đó làm điểm trong

Trong mặt phẳng, khi tập E được cho như là tập nghiệm, khác rỗng của một hệ hữu hạn các bất phương trình dạng tuyến tính của 2 biến x,y thì hệ các ràng buộc xác định một đa giác lồi, các cạnh của đa giác đó chính là tập các điểm biên, các đỉnh là các điểm cực biên.
31
2.2 Một vài trường hợp riêng
Ta xét trường hợp : Khi tập ràng buộc được cho bởi 1 quan hệ hàm ở dạng tường hoặc dạng ẩn:
Bài toán 1:

Ta đưa bài toán về cực trị của hàm 1 biến:


Bài toán 2:

Nếu từ: g(x,y)=0 hàm hiệu
thì đưa được về bài toán 1
Trường hợp khác: Dùng pp Lagrange
32
Vídụ1: Bài 12.10 (3) (sgk) Tìm nghiệm tối ưu

Thay y = 2x-1 vào hàm mục tiêu. Ta có bài toán:


Hàm số có tập xác định là :R
Điểm tới hạn:

Hàm số đạt cực tiểu tại
Vậy nghiệm tối ưu là:
33
Vídụ2: Bài 12.10 (2) (sgk) Tìm nghiệm tối ưu
Giải:
Ta thấy: tập ràng buộc là một đa giác lồi có 3 đỉnh là: ; ;
Hàm mục tiêu có dạng tuyến tính, vậy có ít nhất 1 trong 3 nghiệm là nghiệm tối ưu:
Ta có:


Vậy, nghiệm tối ưu là:

34
2.3 Phương pháp nhân tử Lagrange

Xét bài toán:
Tìm cực trị của hàm 2 biến có ràng buộc:


Lập hàm Lagrange:



35
2.3.1 Điều kiện cần của cực trị:
Định lý:
Giả sử các hàm f (x,y); g (x,y) có các đạo hàm riêng liên
tục trên một lân cận của điểm và
hoặc: .Khi đó, nếu hàm số đạt cực trị tại
thì tồn tại 1 số thực sao cho: TM pt:





: Nhân tử Lagrange
Nghiệm của hệ: gọi là điểm dừng của hàm Lagrange
36
2.3.2 Điều kiện đủ của cực trị
Định lý:
Giả sử: là một điểm dừng của hàm Lagrange. Giả sử các hàm f (x,y) ; g (x,y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp 2 trên một lân cận của điểm và
hoặc Đặt:




Khi đó:
Nếu: thì là điểm CĐ của bt cực trị có đk
Nếu: thì: là điểm CT của bt cực trị có đk

37
Ví dụ: Tìm cực đại, cực tiểu có điều kiện của hàm số:
Lời giải:
Hàm Lagrange:
Điểm dừng:



Hàm Lagrange có duy nhất 1 điểm dừng là:
Tại điểm này ta có


Vậy hàm số có cực đại tại x=8, y=14
38
III. ứng dụng của đạo hàm riêng trong kinh tế
Để xét xem hiệu quả của việc sử dụng yếu tố đầu vào đối với việc tăng sản lượng.Ta đi xét hàm sản xuất sau:
Q= f (R,L)
Ta có các đạo hàm riêng:



Trong đó: K: Vốn ( tư bản )
L: Lao động
( sp cận biên của LĐ ): là sự thay đổi tổng số sp đầu ra do sử dụng thêm 1 yếu tố đầu vào là LĐ.
( Sp cận biên của tư bản ): là sự thay đổi trong tổng số sản phẩm đầu ra do sử dụng thêm 1 yếu tố đầu vào là vốn



39
Ví dụ: Giả sử: hàm sản xuất của 1 doanh nghiệp có dạng:

Trong đó: K, L, Q là mức sử dụng lao động, mức sử dụng tư bản và sản lượng hàng ngày.
Giả sử doanh nghiệp đó đang sử dụng 27 đơn vị tư bản và 64 đơn vị lao động trong 1 ngày, tức K=27, L= 64.
Sản lượng cận biên của tư bản và của lao động là:
40
Nếu doanh nghiệp tăng mức sử dụng tư bản lên 28 và giữ nguyên mức sử dụng 64 lao động trong 1 ngày thì sản lượng hàng ngày của nó sẽ tăng thêm khoảng 26,7 đv sản phẩm hiện vật

Nếu doanh nghiệp nâng mức sử dụng lao động lên 65 đơn vị và giữ nguyên mức sử dụng 27 đv tư bản trong 1 ngày thì sản lượng hàng ngày sẽ tăng thêm khoảng 5,6 đv sản phẩm hiện vật.
41
Bài toán tối đa hoá lợi nhuận
Xét trường hợp 1 hãng cạnh tranh thuần tuý sản xuất 2 loại sản phẩm.Giả sử: tổng chi phí kết hợp được tính theo số lượng sản phẩm được sản xuất

:Số lượng sản phẩm thứ 1
: Số lượng sản phẩm thứ 2
Do tính chất cạnh tranh, hãng phải chấp nhận giá thị trường của các sản phẩm đó
, : giá cả của 2 loại sản phẩm
Hàm tổng lợi nhuận có dạng:

Bài toán đặt ra: chọn 1 cơ cấu sản xuất để hàm tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất
42
Ví dụ: Giả sử hàm tổng chi phí của hãng là:

Và giá sản phẩm là:
Hàm tổng lợi nhuận là hàm số:

Điều kiện cần:



Lại có: ; ;



Lợi nhuận sẽ lớn nhất nếu hãng sx 4đv sp thứ 1và
3 đv sp thứ 2
43
xin chân thành cảm ơn!