Cac phuong phap chung minh BDT

Chia sẻ bởi Phạm Anh Sơn | Ngày 12/10/2018 | 50
Chia sẻ tài liệu: cac phuong phap chung minh BDT thuộc Đại số 7

Nội dung tài liệu:

PHẦN 1
CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
1/Định nghĩa 
2/Tính chất
+ A>B 
+ A>B và B >C 
+ A>B A+C >B + C
+ A>B và C > D  A+C > B + D
+ A>B và C > 0  A.C > B.C
+ A>B và C < 0  A.C < B.C
+ 0 < A < B và 0 < C + A > B > 0  A > B
+ A > B  A > B với n lẻ
+  >   A > B với n chẵn
+ m > n > 0 và A > 1  A >A
+ m > n > 0 và 0 +A < B và A.B > 0  

3/Một số hằng bất đẳng thức

+ A  0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ An  0 vớiA ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+  với  (dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ - < A = 
+  ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)
+  ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)
PHẦN II
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0
Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M  0 với( M
Ví dụ 1 ( x, y, z chứng minh rằng :
a) x + y + z  xy+ yz + zx
b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz
c) x + y + z+3  2 (x + y + z)
Giải:
a) Ta xét hiệu : x + y + z- xy – yz – zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)
=đúng với mọi x;y;z
Vì (x-y)2 0 với(x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)2 0 với(x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)2 0 với( z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x + y + z  xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệu: x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz
= ( x – y + z) đúng với mọi x;y;z
Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu: x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1
= (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a)  ; b)  c) Hãy tổng quát bài toán
Giải:
a) Ta xét hiệu 
= = =
Vậy . Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu
=.Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát
Tóm lại các bước để chứng minh AB theo định nghĩa
Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B
Bước 2:Biến đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+….+(E+F)
Bước 3:Kết luận A ( B
Ví dụ 1: Chứng minh (m,n,p,q ta đều có : m+ n+ p+ q+1( m(n+p+q+1)
Giải:

 (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có :
Giải: Ta có : , 

Đúng với mọi a, b, c.
Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương
Kiến thức:
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.
Nếu A < B  C < D , với C < D là một bất đẳng thức hiển nhiên, hoặc đã biết là đúng thì có bất đẳng thức A < B .
Chú ý các hằng đẳng thức sau:



Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
a) 
b) 
c) 
Giải:
a) 
(BĐT này luôn đúng). Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
b) 

 Bất đẳng thức cuối đúng.
Vậy . Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
c) 


Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 
Giải:
 
  a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0
a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  0
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 3: cho x.y =1 và xy Chứng minh 
Giải:  vì :xy nên x- y  0 x2+y2 ( x-y)
 x2+y2-  x+y 0 x2+y2+2-  x+y -2 0
 x2+y2+()2-  x+y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y-)2  0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
a/ P(x,y)= 
b/ (gợi ý :bình phương 2 vế)
c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:


Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz()=x+y+z - ( (vì< x+y+z theo gt)
2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương.
Nếu trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
Ví dụ 5: Chứng minh rằng : 
Giải:
Ta có : 
Tương tự ta có :, 
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được :
 (*)
Ta có : 
Tương tự : , 
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được :
 (**)
Từ (*) và (**) , ta được :  (đpcm)
Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ
Kiến thức:
a) 
b)  dấu( = ) khi x = y = 0
c) 
d)
Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng
 (a+b)(b+c)(c+a)8abc
Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: 
Tacó ;  ; 
(a+b)(b+c)(c+a)8abc
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy
Kiến thức:
a/ Với hai số không âm : , ta có: . Dấu “=” xảy ra khi a=b
b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm :

Dấu “=” xảy ra khi 
Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số không âm.
Ví dụ 1 : Giải phương trình :
Giải : Nếu đặt t =2x thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt 
Khi đó phương trình có dạng :
Vế trái của phương trình:



Vậy phương trình tương đương với :
.
Ví dụ 2 : Cho x, y , z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của P =
Giải : P = 3- () = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu a, b, c > 0 thì

Suy ra Q =   -Q nên P = 3 – Q  3-=
Vậy max P = .khi x = y = z = .
Ví dụ 3: Cho a, b, c >0 . Chứng minh rằng: 
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :

Tương tự :

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC : (*)
Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :

Cũng theo bất đẳng thức Côsi :

Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được

Từ (1),(3) suy ra (*). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều .
Ví dụ 5:
Cho . Chứng minh rằng: 
Giải: Đặt  có 2 nghiệm a,c
Mà:

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:


Phương pháp 5 Bất đẳng thức Bunhiacopski
Kiến thức:
Cho 2n số thực (): . Ta luôn có:

Dấu “=” xảy ra khi 
Hay  (Quy ước : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 )
Chứng minh:
Đặt 
Nếu a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng.
Nếu a,b > 0:
Đặt: , Thế thì: 
Mặt khác: 
Suy ra: 
Lại có: 
Suy ra: 
Dấu”=” xảy ra 
Ví dụ 1 :
Chứng minh rằng:  , ta có: 
Giải: Ta có: 
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa:

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Tìm GTLN của:

Giải:
* Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng
Cho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm: 
Thế thì: 
Dấu”=” xảy ra  bô số (a,b,….,c) sao cho: với mỗi i = 1,2,…,m thì  sao cho: , Hay 
Ví dụ 1: Cho 
Chứng minh rằng: 
Giải:
 ta có: 

Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski:
(đpcm)
Ví dụ 2: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd
mà 

Ví dụ 3: Chứng minh rằng : 
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 
 3
 Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Phương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sép
Kiến thức:
a)Nếu  thì .
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
b)Nếu thì

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = 1 và

S là diện tích tan giác. chứng minh rằng ABC là tam giác đều.
Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư Suy ra:

Áp dụng BĐT trebusep ta được:

Dấu ‘=’ xảy ra
Mặt khác:

Thay (2) vào (1) ta có

Dấu ‘=’ xảy ra ABC đều.

Ví dụ 2(HS tự giải):
a/ Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: 
b/ Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z
c/ Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: 
d)Cho x,y thỏa mãn  ;CMR: x+y
Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và . Chứng minh rằng
Giải:
Do a,b,c đối xứng ,giả sử abc  
Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
==
Vậy  Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
Ví dụ 4: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :

Giải: Ta có 

Do abcd =1 nên cd = (dùng )
Ta có  (1)
Mặt khác:  = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
=
Vậy


Phương pháp7 Bất đẳng thức Bernouli
Kiến thức:
a)Dạng nguyên thủy: Cho a-1, Z thì . Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
b) Dạng mở rộng:
- Cho a > -1, thì . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
- cho  thì . Dấu bằng xảy ra khi va chỉ khi.
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng .
Giải
Nếu  hay  thì BĐT luôn đúng
Nếu 0 < a,b < 1
Áp dụng BĐT Bernouli:

Chứng minh tương tự:. Suy ra  (đpcm).
Ví dụ 2: Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng
. (1)
Giải

Áp dụng BĐT Bernouli:
 (2)
Chứng minh tương tự ta đuợc:

 (3)
 (4)
Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có
(đpcm)
Chú ý: ta có bài toán tổng quát sau đây:
“Cho Chứng minh rằng
.
Dấu ‘=’ .(chứng minh tương tự bài trên).
Ví dụ 3: Cho . Chứng minh rằng
.
Giải
Đặt .

Chứng minh tương tự:

Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta được

Chú ý: Bài toán tổng quát dạng này
“ Cho n số 
Ta luôn có:

Phương pháp 8: Sử dụng tính chất bắc cầu
Kiến thức: A>B và B>C thì A>C
Ví dụ 1: Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d
Chứng minh rằng ab >ad+bc
Giải:

Tacó     (a-c)(b-d) > cd
 ab-ad-bc+cd >cd  ab> ad+bc (điều phải chứng minh)
Ví dụ 2: Cho a,b,c>0 thỏa mãn . Chứng minh 
Giải: Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)  0
 ac+bc-ab ( a2+b2+c2)
 ac+bc-ab  1 Chia hai vế cho abc
* Một số tài liệu cũ có thể bị lỗi font khi hiển thị do dùng bộ mã không phải Unikey ...
Dung lượng: 2,87MB| Lượt tài: 2
Loại file: doc
Nguồn : Chưa rõ
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Tải tài liệu
Có thể bạn quan tâm
Xem thêm >