Các bài Luyện tập

Bài 4: Trong 10 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 1 có nhiều nhất là bao nhiêu số NT.
Giải: Giả sử 10 số tự nhiên liên tiếp là:
n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 7, n + 6, n + 8, n + 9 Với n >1
Nếu n = 2 ta có các số NT là 2, 3, 5, 7, 11 Xét trường hợp n > 2, ta có dãy số chứa 5 số chẵn , 5 số lẻ
Các số chẵn này đều là các hợp số .
Trong 5 số lẻ liên tiếp của dãy :
n, n + 2, n + 4, n + 6, n + 8( nếu n là số lẻ )
Hoặc n + 1 , n + 5, n + 7 , n + 9
( nếu n là số chẵn )
Gỉa sử 5 số lẻ là n, n +2, n + 4, n + 6, n + 8.
+ Nếu n chia hết cho 3 thì n + 6 cũng chia hết cho 3 , là một hợp số
Như vậy 5 số này có nhiều nhất là 4 số NT .
+ Nếu n chia hết cho 3 dư 1 thì n + 2 chia hết cho 3, nó là hợp số
+ Nếu n chia hết cho 3 dư 2 thì n + 4 chia hết cho 3, nó là hợp số

Trường hợp các số lẻ là n + 1, n + 3, n + 5, n + 7 , n + 9 ta cũng lập luận tương tự . Và thấy rằng chúng có nhiều nhất không vượt quá 4 số nguyên tố, do đó dãy 10 số tự nhiên liên tiếp có không quá 4 số nguyên tố
Tóm lại dãy 10 số tự nhiên liên tiếp 2, 3, 4,..., 11 là dãy chứa 5 số nguyên tố , là dãy có nhiều số nguyên tố nhất trong các dãy 10 số tự nhiên liên tiếp .
Bài 6: Chứng tỏ rằng với mọi n ? N* thì
số: A = là hợp số

Giải: A =

= +
= . 10n +

= . (10n + 1) là hợp số

Bài 7: Tìm số nguyên tố P sao cho:
a) P + 10 và P + 14 đều là số NT.
B) P + 2; P + 6; P+ 8 và P+ 14 là các số NT.
Giải:
a) P = 3.
b) P=3 không thoả mãn vì P+6 =9 là hợp số.
P = 5 thì P + 2 = 7, P + 6 = 11, P + 8 = 13, P + 14 = 19 đều là các số NT.
Nếu P > 5 chia P cho 5 ta có số dư có thể là 1, 2, 3, 4.

Nếu P = 5k + 1 thì P + 14 = 5k + 15 chia hết cho 5 là hợp số.
Nếu P = 5k + 2 thì P + 8 = 5k + 10 chia hết cho 5 là hợp số.
Nếu P = 5k + 3 thì P + 2 = 5k + 5 chia hết cho 5 là hợp số.
Nếu P = 5k + 4 thì P + 6 = 5k + 10 chia hết cho 5 là hợp số.
Vậy P = 5 là số nguyên tố duy nhất thoả mãn đề bài.