BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 5

Bài 1: Cho hỡnh thang ABCD có đáy nhỏ AB = 4cm ; đáy lớn DC = 6cm . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau ở O. Cho biết diện tích tam giác AOD bằng 9cm2.
a) Tính diện tích hỡnh thang ABCD.
b) Gọi E là điểm chính gi?a đáy DC. Nối E với O kéo dài cắt AB ở F. so sánh diện tích các tứ giác AFED và EFBC.
- Xét hai tam giác ABD và DBC:
+Có đường cao hạ từ D xuống AB bằng đường cao hạ từ B xuống DC (vì ABCD là hình thang)
+ Có đáy AB:CD=4/6 hay AB = 2/3 CD
Nên: S.ABD=2/3 x S.DBC (*) Mà chung đáy DB nên đường cao hạ từ A xuống DB bằng 2/3 đường cao hạ từ C xuống DB
- Xét hai tam giác AOD và DOC
+ Có chung đáy DO
+ Có đường cao hạ từ A xuống DO bằng 2/3 đường cao hạ từ C xuống DO
Nên S.COD=3/2 x S.AOD=3/2 x 9 =13,5 (cm2)
Tương tự (*) ta xét 2 tam giác ABC và ACD
A
B
C
D
O
4
6
9
+ Có chung đáy AC
+ Có đường cao hạ từ B xuống AC bằng 2/3 đường cao hạ từ D xuống AC nên S.ABC=2/3 x S.ACD
=2/3 x (13,5 + 9) = 15 (cm2)
S.ABCD =15 +22,5
=37,5 (cm2)
A
Xét 2 tam giác AEC và DBE
+ Có đáy DE = CE
+ Có đường cao hạ từ A,B xuống CD bằng nhau (vì ABCD là hình thang )
Nên S.BDE = S.ACE (1)
- Xét 2 tam giác DOE và COE
+ Có đáy DE = CE
+ Có chung đường cao hạ từ O xuống CD
Nên S.DOE = S.COE (2)
Từ (1) và (2) Suy ra S.AOE = S.BOE mà
lại chung đáy OE nên đường cao hạ từ A
xuống OE bằng đường cao hạ từ B xuống OE
- Xét 2 tam giác FAO và FBO
+ Có chung đáy FO
+ Có đường cao hạ từ A xuống OE bằng đường cao hạ từ B xuống OE
Vậy : S.AOF = S.BOF
B
C
D
O
F
E
Nối EO kéo dài cắt AB tại F.
Nối AE, BE
Mà lại chung đường cao hạ từ O xuống AB nên đáy FA = BF
Xét 2 tam giác FAE và FBE
+ Có đáy FA = BF
+ Có chung đường cao hạ từ E xuống AB => Nên S.AEF = S.BFE
Xét 2 tam giác BCE và AED
+ Có đáy DE = EC
+ Có đường cao hạ từ A,B xuống CD => Nên S.ADE = S.BEC
Vậy : S.AOF + S.ADE = S.BOF + S.BEC
Nên : S.AFED = S.FBCE
B�i 3: Cho hỡnh ch? nhật ABCD; I là điểm chính gi?a cạnh AB, nối D với I, đoạn thẳng DB cắt đoạn thẳng IC tại K.
a. Chứng tỏ rằng S.DIB = 1/2 x S.DBC
b. Kẻ IP vuông góc với DB, kẻ CQ vuông góc với DB chứng tỏ rằng S.DIC=3x S.DIK
c. Biết S.DIK = 8cm2. Tính diện tích hỡnh ch? nhật ABCD ?
Chứng tỏ: S.DIB = 1/2 x S.DBC
Xét 2 tam giác DIB và DBC
+ Có đáy BI = ½ AB =½ CD (cùng là chiều dài
hình chữ nhật)
+ Có cùng chiều cao hạ từ D xuống AB bằng
đường cao hạ từ B xuống CD (cùng là chiều rộng
hình chữ nhật )
Vậy : S.DIB = 1/2 x S.DBC mà 2 tam giác này lại chung
đáy DB nên đường cao hạ từ I xuống DB bằng ½
đường cao hạ từ C xuống DB
Xét 2 tam giác DIK và DKC
+ Có chung đáy DK
+ Có đường cao hạ từ I xuống DK bằng ½ đường cao hạ từ C xuống DK
Vậy : S.DIK = 1/2 x S.DKC
A
B
D
C
I
K
Mà 2 tam giác này lại chung đường cao hạ từ D xuống IC nên IK = ½ KC hay IK = 1/3 IC
- Xét 2 tam giác DIK và DIC
+ Có chung đường cao hạ từ D xuống IC
+ Có IK = 1/3 IC
Nên S.DIC = 3 x S.DIK
c. Biết S.DIK = 8cm2. Tính diện tích hỡnh ch? nhật ABCD ?
Theo ý b) ta có : S.DIK = 1/3 x S.DIC
Vậy : S.DIC = 3 x 8 = 24 (cm2)
Xét 2 tam giác DIC và BDC
+ Có đường cao hạ từ I và B xuống DC bằng nhau
+ Có chung đáy DC
Nên S.DIC = S.DBC = 24 (cm2) = 1/2 S.ABCD
Vậy S. ABCD = 24 x 2 = 48 (cm2)
A
B
D
C
I
K