BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 5

Tỡm cỏc ch? s? trong bi?u th?c
Bài 1 : Tỡm a,b,c,d,e,g a) abc = bc x 37
a x 100 + bc = 37 x bc( b?t hai v? bc )
a x 100 = 36 x bc ( Chia hai v? cho 4)
25 x a = 9 x bc. Ta nh?n th?y a l?n nh?t ch? cú th? b?ng 9 do v?y 9 x bc l?n nh?t ch? cú th? b?ng 9 x 25 = 225. V?y b ch? cú l� 1 ho?c 2
+ N?u b = 1 ta cú 25 x a = 9 x 1c (1)
+) T? (1) Suy ra c = 0 ho?c b?ng 5 vỡ 25 x a cú t?n cựng b?ng 0 ho?c 5
+) N?u c = 0 thỡ ta cú 9 x 10 = 25 x a ( lo?i )
+) N?u c = 5 thỡ ta cú 9 x 15 = 25 x a = 135 ( Lo?i )
+N?u b = 2 ta cú 25 x a = 9 x 2c (2)
+) T? (2) Suy ra c = 0 ho?c 5 vỡ 25 x a cú t?n cựng l� 0 ho?c 5
+) N?u c = 0 thỡ ta cú 9 x 20 = 25 x a hay 25 x a = 180 (lo?i)
+) N?u c = 5 thỡ ta cú 9 x 25 = 25 x a = 135 hay 25 x a = 225 v?y a = 225 : 25 = 9
Ta cú cỏc giỏ tr? c?a cỏc ch? s? : a = 9; b = 2; c = 5
Th? l?i : 925 = 25 x 37
b) ab = ba x 3 + 5
Ta cú: 10 x a + b = (b x 10 + a) x 3 + 5
10 x a + b = 30 x b + 3 x a + 5 ( B?t hai v? 3a + b )
7 x a = 29 x b + 5 (1)
T? (1) suy ra 7 x a l?n nh?t cung ch? b?ng 7 x 9 = 63. V?y 29 x b + 5 l?n nh?t ch? b?ng 63 nờn b ch? cú th? nh?n l� 2,1 ho?c 0.
+ N?u b = 0 thỡ ta cú 7 x a = 29 x 0 + 5 (lo?i)
+ N?u b = 1 thỡ ta cú 7 x a = 29 x 1 + 5 ( lo?i)
+ N?u b = 2 thỡ ta cú 7 x a = 29 x 2 + 5 = 63
Hay 7 x a = 63 nờn a = 9
*Ta cú giỏ tr? s? c?a cỏc ch? s? l�: a = 9; b = 2
Th? l?i : 92 = 29 x 3 + 5
c) abc = 7 x bc
Ta cú : a x 100 + bc = 7 x bc ( cựng b?t hai v? bc )
100 x a = 6 x bc ( cựng chia hai v? cho 2 )
50 x a = 3 x bc (*)
T? (*) Suy ra ( 3 x bc ) l?n nh?t ch? b?ng 270 nờn bc l?n nh?t ch? cú th? b?ng 90 hay
Khi dú ta cú 50 x a l?n nh?t cung ch? b?ng 270 hay a ch? cú th? nh?n giỏ tr? a = 1,2,3,4,5
+ N?u a = 1 ta cú 50 x 1 = 3 x bc = 50 ( lo?i )
+ N?u a = 2 ta cú 50 x 2 = 3 x bc = 100 ( lo?i )
+ N?u a = 3 ta cú 50 x 3 = 3 x bc = 150 nờn bc = 150 : 3 = 50
Ta cú cỏc giỏ tr? s? a = 3; b = 5; c = 0 th? : 350 = 7 x 50
+ N?u a = 4 ta cú 50 x 4 = 3 x bc = 200 ( lo?i )
+ N?u a = 5 ta cú 50 x 5 = 3 x bc = 250 ( lo?i )
V?y : Ta tỡm du?c a = 3; b = 5; c = 0
d) abc + ab = bccb
a x 100 + b x 10 + c + a x 10 + b = b x 1000 + c x 100 + c x 10 + b hay ta cú
110 x a + 11 x b + c = 1001 x b + 110 x c
( b?t hai v? 11 x b + c )
110 x a = 990 x b + 109 x c Ta nh?n th?y 110 x a l?n nh?t cung ch? b?ng 110 x 9 = 990 nờn
Suy ra 990 x b + 109 x c l?n nh?t cung ch? b?ng 990 hay b ch? cú th? b?ng 1 ho?c 0:
+ N?u b = 0 thỡ 110 x a = 990 x 0 + 109 x c thỡ c = o ( lo?i )
+ N?u b = 1 thỡ 110 x a = 990 x 1 + 109 x c suy ra c = 0
Ta cú cỏc ch? s? c?n tỡm l� : a = 9; b = 1; c = 0
Th? : 910 + 91 = 1001
d) abc= dad : 5
( 100 x a + bc ) x 5 = 101 x d + 10 x a
500 x a + 5 x bc = 101 x d + 10 x a ( bớt hai vế 10 x a )
490 x a + 5 x bc = 101 x d ( * )
Từ (*) ta thấy 101 x d lớn nhất chỉ bằng 101 x 9 = 909
Suy ra 490 x a + 5 x bc lớn nhất cũng chỉ bằng 909 và khi đó 490 x a + 5 x bc = 909 thì a chỉ có thể bằng 1 ( Vì a không thể bằng 0 vì 5 x bc < 909 )
Nếu a = 1 thì ta có 490 x 1 + 5 x bc = 101 x d (**)
Từ (**) ta có (490 + 5 x bc) luôn có tận cùng là 0 hoặc 5 Suy ra d = 5. Nếu d = 5 thì suy ra c = 1 hoặc 3
+) Nếu c = 1 thì 490 + 5 x b1 = 505 (loại)
+) Nếu c = 3 thì 490 + 5 x b3 = 505 thì suy ra b = 0
Ta có các chữ số : a = 1, b = 0, c = 3
Thử : 103 = 515 : 5
a) 30abc = 241 x abc
30 x 1000 + abc x 1 = 241 x abc ( bớt hai vế abc )
30000 = 240 x abc nên abc = 30000 : 240 = 125
Vậy các giá trị của các chữ số a = 1; b = 2; c = 5
Thử lại : 30125 = 241 x 125
b) abab + ab = 1326
ab x 100 + ab + ab = 1326
ab x ( 100 + 1 +1 ) = 1326
102 x ab = 1326 nên ab = 1326 : 102 = 13
Vậy các giá trị của các chữ số a = 1; b = 3
Thử lại : 1313 + 13 = 1326
+
+
+
+
c) abcd + abc = bddbc
Ta đặt tính cột dọc được phép tính như bên.
Từ biểu thức bên suy ra b = 1 ( thay b = 1 vào phép tính )
Vậy a = 8 hoặc 9. Thay a = 8 vào ta có phép tính
+ Nếu a = 8 ta thay vào ta thấy không hợp lệ
+ Nếu a = 9 thay vào ta thấy
Ta có biểu thức : d = 0 và c= 9
Ta có các chữ số cần tìm là:
a = 9, b = 1; c = 9; d = 0
Thử : 9190 + 919 = 10019
d) bccb-abc = ab
Ta đặt tính theo cột dọc
- Nhìn vào phép tính ta thấy b = 1
+
+
Nhìn vào phép tính ta thấy b = 1
Thay b = 1 vào ta có phép tính
Suy ra a = 9. thay a = 9 vào tiếp ta được
Vậy : c = 0
Ta có các chữ số a = 9; b = 1; c = 0
+
a) 8ab : ab = 17
800 + ab = 17 x ab ( bớt hai vế ab ) ta có
800 = 16 x ab suy ra ab = 800 : 16 = 50
Thử : 850 : 50 = 17
b) 6ab=ab x41
600 + ab = ab x 41 ( bớt hai vế ab ) ta có
600 = ab x 40 suy ra ab = 600 : 40 = 15
Thử : 615 = 15 x 41
c) 15abc : abc = 121
15000 + abc = 121 x abc ( bớt hai vế đi abc ) ta có
15000 = 120 x abc vậy abc = 15000 : 120 = 125
Thử : 15125 = 121 x 125
d) abcd x 81 = 33abcd
abcd x 81 = 330000 + abcd ( bớt hai vế abcd ) ta có
abcd x 80 = 330000 Suy ra abcd = 330000 : 80 = 4125
Vậy : a = 4; b = 1; c = 2; d = 5
Thử lại
e) abcabc + abc=321642
abc x 1000 + abc + abc = 321642
abc x 1002 = 321642 suy ra abc = 321642 : 1002 = 321
Vậy : a = 4; b = 1; c = 2; d = 5
Thử lại :
f) abab + ab = 2550
ab x 100 + ab + ab = 2550
ab x 102 = 2550 suy ra ab = 2550 : 102 = 25
Vậy : a = 4; b = 1; c = 2; d = 5
h) abc= ab + bc +ca
a x 100 + b x 10 + c = a x 10 + b + b x 10 + c + c x 10 + a
100 x a + b x 10 + c = 11 x a + 11 x b + 11 x c ( bớt mỗi vế đi 11 x a + b x 10 + c )
89 x a = b + 10 x c ( * ) Từ (*) suy ra b + 10 x c lớn nhất chỉ có thể đạt giá trị là : 9 + 10 x 9 = 99 nên a < 2 vậy a chỉ có thể bằng 1 hoặc 0
+ Nếu a = 0 ( loại ) vì bc = b + bc + c0
+ Nếu a = 1 thì ta có : 89 x 1 = b + 10 x c suy ra b = 9 và c = 8 ta có các chữ số cần tìm là a = 1, b = 9 và c = 8
Thử : 198 = 19 + 98 + 81
g) ab x aba = abab
Ta thấy: abab : ab = 101 suy ra aba = 101 nên a = 1; b =0
Thử : 10 x 101 = 1010