Bo DE THI HSG 6

ĐỀ SỐ I
Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức

a, Rút gọn biểu thức
b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản.
Câu 2: (1 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số
sao cho
và

Câu 3: (2 điểm)
a. Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương
b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số.
Câu 4: (2 điểm)
a. Cho a, b, n ( N* Hãy so sánh
và

b. Cho A =
; B =
. So sánh A và B.
Câu 5: (2 điểm)
Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a1, a2, ....., a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10.
Câu 6: (1 điểm)
Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng.

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ I
Câu 1:
Ta có:
=

Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm).
Rút gọn đúng cho 0,75 điểm.
b.Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 ( 0,25 điểm).
Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ
Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ]
d
Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. ( 0, 5 điểm)
Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm)
Câu 2:

= 100a + 10 b + c = n2-1 (1)

= 100c + 10 b + a = n2 – 4n + 4 (2) (0,25 điểm)
Từ (1) và (2) ( 99(a-c) = 4 n – 5 ( 4n – 5
99 (3) (0,25 điểm)
Mặt khác: 100 ( n2-1 ( 999 ( 101 ( n2 ( 1000 ( 11 (n(31 ( 39 (4n – 5 ( 119 (4) ( 0, 25 điẻm)
Từ (3) và (4) ( 4n – 5 = 99 ( n = 26
Vậy:
= 675 ( 0 , 25 điểm)
Câu 3: (2 điểm)
a) Giả sử n2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a( Z) ( a2 – n2 = 2006( (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm).
+ Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm).
+ Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n)
2 và (a+n)
2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) (0,25 điểm).
Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,25 điểm).
b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3.
Vậy n2 + 2006 là hợp số. ( 1 điểm).
Bài 4: Mỗi câu đúng cho 1 điểm
Ta xét 3 trường hợp


(0,5 điểm).
TH1:
( a=b thì
thì
=
=1. (0 , vì ,5 điểm).
TH1:
( a>b ( a+m > b+n.
Mà
có phần thừa so với 1 là


có phần thừa so với 1 là
, vì
<
nên
<
(0,25 điểm).
TH3:
<1 ( aKhi đó
có phần bù tới 1 là
, vì
<
nên
>
(0,25 điểm).
b) Cho A =
;
rõ ràng A< 1 nên theo a, nếu