BDHSG

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ 7
Tác giả : Trần Văn Quang
-------***-------

CHUYÊN ĐỀ 1. CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q.

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. HS cần nắm vững những kiến thức sau trước khi nghiên cứu nội dung chuyên đề :
+Các phép toán : cộng ;trừ ;nhân ;chia ;luỹ thừa trong Q;
+Quy tắc dấu ngoặc;
+Quy tắc chuyển vế;
+Tính chất các phép toán : giao hoán; kết hợp; phân phối của phép nhân đối với phép cộng …
2. Từ các tính chất của phép toán ta chứng suy ra được các “Công thức ” sau :
a) a2 + 2a.b + b2 = (a + b)2 ;
b) a2 - 2a.b + b2 = (a - b)2 ;
c) (a - b).(a + b) = a2 - b2 .
Thật vậy :
a) a2 + 2ab + b2 = (a.a + a.b) + (a.b + b.b)
= a.(a + b) + b.(a + b) ( T/C phân phối của phép nhân với phép cộng)
= (a + b)(a + b) ( T/C phân phối của phép nhân với phép cộng)
= (a + b)2.
* Các Công thức b)c) HS tự chứng minh. Ta gọi các công thức trên là các hằng đẳng thức đáng nhớ.
II. DẠNG TOÁN :
Dạng 1. Các phép toán :
+ Khi cộng hay trừ một phân số bước đầu tiên phải đưa được các phân số về cùng mẫu số bằng cách : quy đồng ( mà thực chất chính là nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với một giá trị thích hợp ) hoặc rút gọn phân số , đây là bước quan trọng và đòi hỏi tư duy cao nhất. Qua một số bài tập sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ năng giải quyết vấn đề này bằng những cách làm “đặc biệt “.
Câu 1. Cho các số x,y,z,t thoả mãn điều kiện : xyzt = 1
Tính tổng :
(HSG T.p HP – 1997)
+ Hướng dẫn giải :
- Ta có :
( nhân vào cả tử và mẫu mỗi phân số lần lượt với 1;x;xy;xyz và nhớ xyzt = 1 )
1.
* Có thể làm theo cách khác như sau :
- Vì xyzt = 1 nên ta có thể đặt với a,b,c,d là các số thực khác 0 . Khi đó ta có :
Biểu thức P được biến đổi thành :



Vậy P = 1.
* Chú ý : đối với bài toán mà giả thiết cho các biến số có tích bằng 1 , ta có thể biến đổi bằng cách làm như trên (đặt
+ Khi nhân ; chia các phân số ta luôn phải chú ý rút gọn “tử - mẫu “ ( ) . Kĩ năng tưởng đơn giản này sẽ giúp ích rất lớn trong việc giải quyết nhiều bài toán khó. Thật vây :
Câu 2. Tính : (BD HSG toán 8- T.77)
+ Hướng dẫn giải :
- Ta có : ( nhớ rằng )

Mặt khác :
1986.1987 – 2 = 1986(1988 – 1) + 1986 – 1988
= 1986.1988 – 1988
= 1988.(1986 – 1)
= 1988.1985 ;(2)
Từ (1) và (2) ta có :



* Lưu ý : Bài toán tổng quát hơn là :
với n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 3.
+ Với những bài toán có chứa luỹ thừa , cần chú ý một số công thức cơ bản sau :
0) am = a.a.a…a (m thừa số );a0 = 1 ; a1 = a.
1) am.an = am + n
2) am : an = am – n ( hay )
3) (am)n = am.n
4) (a.b)n = an.bn
5)
6) a-n =
( Với các điều kiện tương ứng có nghĩa )
Câu 3. Rút gọn : ( HSG quốc gia – 1971)
+ Hướng dẫn giải :
- Ta có :
Câu 4. Rút gọn : A = 1 + 5 + 52 + 53 + … + 550 (