Bài toán khó-CM bằng qui nạp

Làm quen với bài toán chứng minh qui nạp


I.- Giới thiệu:
Trong toán học, có nhiều phương pháp chứng minh ( ở cấp tiểu học đề bài dùng chữ “Hãy chứng tỏ rằng.....” ) Trong đó phương pháp chứng minh bằng qui nạp thường áp dụng những khi gặp các biểu thức trông thì đơn giản nhưng rất khó chứng minh bằng suy diễn thông thường. Thậm chí có Nhà toán học mất nhiều năm tháng cũng chưa chứng minh được công thức/bài toán đưa ra.
Tài liệu này giới thiệu một số bài toán số học áp dung phép chứng minh qui nạp để HS trình độ THCS có thể sử dụng được

II.- Nguyên tắc quy nạp toán học như sau:

Cho N = { 1, 2, 3, 4, ... } là tập các số tự nhiên và A(n) là một biểu thức toán học liên quan tới một số tự nhiên n thuộc N (
) sao cho
(*) A(1) là đúng, tức là A(n) đúng khi n = 1
(**) chứng minh được A(n + 1) là đúng bất cứ khi nào A(n) đúng,
tức là, A(n) đúng thì với A(n + 1) cũng đúng.
Các bước để chứng minh biểu thức A(n) là đúng
Bước 1: Chứng minh A(n0) là đúng.
Bước 2: Giả sử A(k) là đúng với số tự nhiên tùy ý ,
ta chứng minh A(k+1) là đúng.
Bước 3: Kết luận A(n) là đúng với mọi số tự nhiên
.

III.- Bài mẫu:

*Đề 1: Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng:

Đọc là “ n thuộc N”
* Giải
Bước 1: Với n = 0, ta có:
Vậy
đúng với n=0
Bước 2: Giả sử
.
Suy ra

Bước 3: Vậy .
(ĐPCM)


*Đề 2

Đọc là “Với mọi n thuộc N” N là số tự nhiên n(0
Chứng minh: An = (n³+2n) chia hết cho 3

*Giải
Bước 1 : Với n=1 thì A1 = (1³+2.1) = 3 chia hết cho 3
Bước 2 : Gỉả sử đặt n=k vẫn đúng tức là : Ak = (k³+2k) chia hết cho 3
Ta cần chứng minh với n=k+1 thì A(k+1) = (k+1)³+2(k+1)cũng chia hết cho 3 Ta có : A(k+1) = (k+1)³+2(k+1) =(k³+3k²+3k+1)+(2k+2) = ( k³+2k)+3(k²+k+1) Do A(k+1) có hai số hạng chia hết cho 3 k³+2k chia hết cho 3 3(k²+k+1) chia hết cho 3 Nên với n=k+1 luôn có A(k+1) chia hết cho 3
( Nghĩa là biểu thức An vẫn đúng với mọi n thuộc N.)
Kết luận: Vậy theo giả thiết quy nạp, ta đã có điều phải chứng minh

*Lưu ý:

Tại bước 1 có thể chon n=0 (như đề 1) hoặc chon n=1 ( Đề 2) tùy thau biểu thức, sao cho “hiển thị chân lý” nhanh nhất
Bước 2 cần nắm vững các kiến thức, công thức, định lý đã học để chứng minh

IV Bài thực hành

1./- Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh công thức tính tổng S của bình phương các số tự nhiên n. (n = 1, 2, 3,.... )
S1 =
,
2./- Chứng minh biểu thức sau về số tự nhiên


S2 =


Gợi ý :

1./ Nếu chưa quen Phép CM qui nạp có thể tham khảo gợi ý các bước giải sau


Bước1: Với n=1, ta có:
.
Vậy
đúng với n=1.
Bước 2: Giả sử
.
Suy ra:




Bước 3: Vậy
Kết luận
đúng với n=1,2,3,…


2./- Tính công thức tổng n số tự nhiên theo cấp số công, rồi thay vào tính phân thức S 2