Bài toán giải bằng PP CM bài toán phụ

Cho: a + b + c = 5
ab + bc + ca = 8

cmr: 1 ≤ a,b,c ≤ 7/3.

Giải:
Bổ đề:
Cho : x + y + z = 2 (1)
và xy + yz + zx = 1 (2)
cmr: x,y,z ≥ 0

Từ (1) ta có: y + z = 2 – x
Thay vào (2) ta được:
x(2-x) + yz – 1 = 0
<=> x2 – 2x + 1 – yz = 0
Vì tồn tại x,y,z thỏa mãn (1) và (2) nên (3) tồn tại nghiệm x.
Có: ∆’ = 1 – (1-yz) ≥ 0
yz ≥ 0.
y,z cùng dấu.
Chứng minh tương tự ta có:
x,z cùng dấu.
x,y cùng dấu.
kết hợp với (1) => x,y,z ≥ 0

cm: 1 ≤ a,b,c.
Ta có: (a – 1)(b – 1) = ab – (a + b) + 1.
(b – 1)(c – 1) = bc – (b + c) + 1.
(c – 1)(a – 1) = ca – (c + a) + 1.

Nên: (a – 1)(b – 1) + (b – 1)(c – 1) + (c – 1)(a – 1)
= (ab + bc + ac) – 2*(a + b + c) + 3
= 8 – 2*5 + 3 = 1 (4)

Ta có: a + b + c = 5 => (a – 1) + (b – 1) + (c – 1) = 2 (5)

Đặt: x = a – 1
y = b – 1
z = c – 1
(4) và (5) trở thành:
xy + yz + zx = 1
x + y + z = 2
theo bổ đề thì x,y,z ≥ 0
nên: a – 1 ≥ 0 => a ≥ 1.
Tương tự: b,c ≥ 1.

cm: a,b,c ≤ 7/3.
Ta có: (7/3 – a)(7/3 – b) = (7/3)2 – 7/3(a + b) + ab.
(7/3 – b)(7/3 – c) = (7/3)2 – 7/3(b + c) + bc.
(7/3 – c)(7/3 – a) = (7/3)2 – 7/3(c + a) + ca.

Nên: (7/3 – a)(7/3 – b) + (7/3 – b)(7/3 – c) + (7/3 – c)(7/3 – a)
= 3*(7/3)2 – 7/3*2*(a + b + c) + (ab + bc + ca)
= 49/3 – 70/3 +8 = 1 (6)

Ta có: 7 – (a + b + c) = (7/3 – a) + (7/3 – b) + (7/3 – c) = 2 (7)

Đặt x = 7/3 – a
y = 7/3 – b
z = 7/3 – c

(6) và (7) trở thành:
xy + yz + zx = 1
x + y + z = 2

theo bổ đề thì x,y,z ≥ 0
nên: 7/3 – a ≥ 0 => 7/3 ≥ a.
Tương tự: b,c ≤ 7/3.