Bài tính chia hết của dãy số lũy thừa

Tính chia hết của dãy số có lũy thừa


I.- Bài Mẫu
* Đề 1 : Cho dãy số A = 5 + 52 + ….+ 595 + 596.
a/ - Tìm chữ số tận cùng của A.
b/- Chứng tỏ rằng A chia hết cho 160

*Giải:
Vì 5 là số lẻ nên các lũy thừa cơ số 5 đều là số lẻ; Nếu nhóm từng cặp 2 số lẻ được một số chẵn. Hoặc tổng quát là :
Luôn có 5n lẻ; Luôn có (5n +1) chẵn và Luôn có (5n + 5n+1) chẵn

Nhóm lần lượt từng cặp số hạng của tổng A thành tích các từa số;
A =((5+52 )+(53 +54 )(+ ((55+56 ) )+(57 +58 )(+ ........+((593 +594 )+ (595 + 596 )(
=((1+5 ).(1 +52 ).(1+54 ) ).(1 +58 ).(1 +516 )(.5.((1+ 532 + 564 )( (*)
Tích (*) có 5 thừa số là số chẵn dạng (5n +1) Nên A chia hết cho 25 = 32
có 1 thừa số là 5 Nên A chia hết cho 5
Vậy A chia hết cho 5 x 32 = 160 và A tận cùng bắng số 0
*Nhận xét:
1 /Thực ra nếu chỉ có câu hỏi a/- Tìm chữ số tận cùng của A thì chỉ cần lập luận:
A là một tổng có tất cả các số hạng chia hết cho 5;
Đồng thời A có 96/2 = 48 là số chẵn các số hạng lẻ (5n) Nên A chia hết cho 2 .
Vây A chia hết cho 10 và phải tận cùng là số 0
2/ Dãy A chính là một Cấp số nhân có sông bội là 5; Nếu đã học cấp số nhân có thể CM theo công thức Cấp số

II ,- Bài thực hành

* Đề 2 : Cho B = 3 + 32 + 33 + 34 ………+ 3100 chứng tỏ B chia hết cho 120.
* Hướng dẫn
B = (3 + 32 + 33+ 34) +……+ (397+398+399+3100)
= 3 (1 + 3 + 32+33)+…….+ 397(1+3+32+33)
Rút ra 25 thừa số chung (1 + 3 + 32+33) = 40. Do đó
B = 40. (3 + 35 +39 +………+397 )
Đến đây thì các bạn CM được rồi !