Bài tậpTự luyệnHSG

ĐỀ SỐ 1
Bài 1: a) Chứng minh rằng:

b) Tìm các số tự nhiên n để:
là số nguyên tố.
Bài 2: a) Cho
. Chứng minh:

b) Cho x, y liên hệ bởi hệ thức: x2 + 2xy +7(x+y) + 2y2 + 10 = 0 (1). Hãy tìm GTLN; GTNN của:
E = x + y + 1
Bài 3: a) Giải các phương trình sau:

b) Giải bất phương trình sau:

Bài 4:Chứng minh tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác.
Bài 5:Cho tam giác nhọn ABC. Gọi AD; BE; CF lần lượt là các phân giác trong của nó.
Đặt:
.
Chứng minh rằng:
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
theo




ĐỀ SỐ 2
Bài 1: a) Chứng minh rằng:

b) Cho a; b; c là ba số hữu tỉ thỏa mãnđiều kiện ab + bc + ca = 1.
Chứng minh rằng:
là một số hữu tỉ
Bài 2: a) Chứng minh rằng tổng bình phương của 1984 số nguyên liên tiếp không phải là số chính phương.
b)Chứng minh rằng:
; với a; b;c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Bài 3: a) Giải phương trình:
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
, trong đó x; y là các số dương thỏa mãn:

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC; hai đường cao BD cà CE. Chứng minh rằng:
a)

b)

Bài 5: Qua điểm O bất kì bên trong tam giác ABC; người ta vẽ ba đường thẳng tương ứng song song với ba cạnh của tam giác đó.
a)Chứng minh hệ thức:
; trong đó
là các đoạn thẳng gồm giữa các cạnh và theo thứ tự song song với các cạnh a; b; c của tam giác.
b) Tính giá trị biểu thức:
; trong đó
là các đoạn thẳng theo thứ tự trên các cạnh a; b; c và gồm giữa các đường thẳng nói trên.


ĐỀ 3
Bài 1: a)Cho
.
Chứng minh rằng: A < 2 với mọi số tự nhiên n,
b) Với
. Chứng minh
Bài 2: a) Cho a; b;c là những số hữu tỉ khác 0 và a = b + c. Chứng minh:
là một số hữu tỉ.
b) Cho ba số
. Tìm GTNN của

Bài 3: a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa phương trình:
.
b) Giải phương trình:
.
Bài 4: Trên các cạnh AB; BC, CA của tam giác ABC, lần lượt lấy các điểm M; N; P sao cho:

.
a) Chứng minh:
b) Tính
theo k và

c) Tìm k để

Bài 5: Cho
. Chứng minh rằng:


ĐỀ 4
Bài 1: a) Cho:
. Chứng minh A là số chính phương?
b) Cho
. Với:
.
Chứng minh rằng:

Bài 2:a) Giải phương trình:

b) Cho biểu thức :B =

Hãy rút gọn biểu thức B rồi tính giá trị của góc nhọn α khi x =
và sin α = B.
Bài 3: a) Cho
. Chứng minh:

b) Giải các phương trình nghiệm nguyên dương:

Bài 4: Cho tam giác đều cạnh bằng 4. lấy 17 điểm bất kì. Chứng minh: trong 17 điểm có ít nhất hai điểm mà khoảng cách không vượt quá 1.
Bài 5: Giả sử M; N; P theo thứ tự nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh AB; BC; CA của tam giác ABC. Chứng minh rằng: M; N; P thẳng hàng khi và chỉ khi :



ĐỀ 5
Bài 1: a) Rút gọn biểu thức:

b) Cho ba số
và
. Tìm GTNN của

Bài 2: a) Tìm
thoả:
là số chính phương.
b) Cho
. Tính:

Bài 3: (7 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a)

b)

Bài 4:
a) Chứng minh rằng với n chẵn thì số
là số nguyên.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình